微积分基本定理教案

㈠ 微积分基本定理

辅助定理--费马引理：

函数f（x）在x0的某临域内有定义，且在点x0处函数有导数，如果对专于所有的f(x)>(<)=f(x0)，那属么，f(x)在点x0处的导数为0；

罗尔定理：

函数f（x）满足：

1、在[a,b]上连续

2、在(a,b)上可导

3、f(a)=f(b)

那么，在x属于（a，b）的范围内，必有点δ满足导数为0.

拉格朗日定理：

函数f（x）满足 ：

1、在闭区间【a，b】上连续

2、在开区间（a，b）上可导

那么，在x属于（a，b）的的范围内，有f（b）--f（a）=（b-a）X（函数f（x）在δ点的导数）

柯西中值定理：

函数f(x)、g(x)满足

1、在【a，b】上连续

2、在（a，b）上可导

3、对任意x属于（a，b），g(x)的导数！=0

那么，存在点δ属于（a，b），满足f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(δ)/g'(δ).

微积分公式这里不好输入，你还是从参考书或课本上找吧。。。

㈡ 什么是微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式（-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

如果函数

(2)微积分基本定理教案扩展阅读：

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

㈢ 微积分基本定理

微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。

牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

(3)微积分基本定理教案扩展阅读

微积分历史：从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。

公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。

中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。

㈣ 微积分基本定理的两道题

新年好! Happy Chinese New Year !
1、只要被积函数连续，continuous，就可以积分。也就说，只要不是离内散discrete
的情况就可以积分。
2、第二题的题目叙容述有问题，应该是：
变上限的积分是否可导，而不是变上限是否可导。
正确的英文是：differentiation under integral sign。
只要上网一搜索，就知道出题人语言表达不清，因为求导是对整体求导。
在对整体求导后，将上限函数代入到被积函数中，然后再乘以上限函数的导数。
所以，该题的答案是：只要上限函数本身可导，整个求导就可以进行；如果被
积函数本身不可导，整个求导就不可以进行。

㈤ 微积分基本定理证明

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt
= Φ(x) + ∫f(t)dt
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|

㈥ 微积分的几个基本定理

.函数定义域的求法：
y=1/x , D: x≠0 , (-∞,0) U (0,+∞)
y=x , D: x≥0, [0, +∞ ]
y=㏒ x , D: x＞0, (0, +∞)
y=tanx, D: x≠kπ+π/2 , k∈Z
y=cotx, D:x≠kπ , k∈Z
y=arcsin(或arccosx) , D: |x|≤1, [-1, 1]

2.常见的偶函数：|x| , cosx , x (n为正整数), e , e ……
常见的奇函数：sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , arctanx ,……

3.常见的函数周期：sinx , cosx , 其周期T=2π；
tanx , cotx , |sinx| , |cosx| , 其周期 T=π.

4.三个恒等式：a =x ; arcsinx + arccosx = π/2 ; arctanx + arccotx = π/2

5.常用的等价形式：当x→0时， sinx ~ x , arcsinx ~ x , tanx ~ x , arctan x ~ x ,
㏑(1+ x) ~ x , e –1 ~ x , 1-cosx ~ (1/2)x², (1+x) -1 ~ (1/n)x

6.极限：Lim­——— =1 , Lim( 1+x ) = e

当x→+∞时，以下各函数趋势于+∞的速度为：
㏑x , xⁿ (n＞0) , a (a＞1) , x
由慢到快
当n→∞时
㏑x , xⁿ (n＞0) , a (a＞1) , n! , x
由慢到快
7.积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一个点ξ使 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a)
8.微分中值定理：若函数f(x)满足条件：函数f(x)在x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
f(x)≤f (x )或f(x)≥f (x ),f(x)在 x 处可导，则有f′(x )=0
9.洛尔定理：设函数f(x)满足条件：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b)，则
在(a,b)内至少存在一个ξ，使f′(ξ)=0
10.拉格朗日中值定理：设函数f(x)满足条件：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个ξ，使———— = f′(ξ)