❶ 关于比例，分数的教案
分式的加减法
教学目标：
(1)理解通分的意义，理解最简公分母的意义；
(2)掌握分式的通分法则，能熟练掌握通分运算。
教学重点：分式通分的理解和掌握。
教学难点：分式通分中最简公分母的确定。
教学工具：投影仪
教学方法：启发式、讨论式
教学过程：
（一）引入
（1）如何计算：
由此让学生复习分数通分的意义、通分的根据、通分的法则以及最简公分母的概念。
（2）如何计算：
（3）何计算：
引导学生思考，猜想如何求解？
(二)新课
1、类比分数的通分得到分式的通分：
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
注意：通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等。
2．通分的依据：分式的基本性质．
3．通分的关键：确定几个分式的最简公分母．
通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
根据分式通分和最简公分母的定义，将分式 ， ， 通分：
最简公分母为： ，然后根据分式的基本性质，分别对原来的各分式的分子和分母乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为 。通分如下：
通过本例使学生对于分式的通分大致过程和思路有所了解。让学生归纳通分的思路过程。
例1 通分：
（1） ， ， ；
分析：让学生找分式的公分母，可设问“分母的系数各不相同如何解决？”，依据分数的通分找最小公倍数。
解：∵ 最简公分母是12xy2，
小结：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数．
解：∵最简公分母是10a2b2c2，
由学生归纳最简公分母的思路。
分式通分中求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。
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通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：
1.分别列出各分母的约数；
2.将各分母约数连乘，若有公约数只乘一次，所得结果即为个分母最小公倍数；
3.凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；
4.相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；
5.将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母；
通分的步骤
1. 先求出原来几个分数（式）的分母的最简公分母；
2. 根据分数（式）的基本性质，把原来分数（式）化成以最简公分母为分母的分数（式）。
通分的依据
通分和约分的依据都是分数（式）的基本性质：
分数（式）的分子、分母同乘以或除以一个不等于零的数（式），分数（式）的大小不变。分母不变，对方的分子分母交叉相乘
通分例题讲解
①通分： 1/3 和 1/4
解：3和4的最小公倍数为12
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
则通分结果为 4/12 和 3/12
②比较 7/9 和 8/11 的大小
解：7/9 = 7×11 / 9×11 = 77/99
8/11 = 8×9 / 11×9 = 72/99
∵77/99>72/99
∴7/9>8/11
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教学目的
1．使学生理解分式的意义。
2． 会求使分式有意义的条件。
教学分析
重点：分式的意义及其基本性质。
难点：分式的变号法则。
教学过程
一、复习
1、引言：我们已经学过了整式，知道可用整式表示某些数量关系；学习了整式四则运算，在此基础上学习了一元一次方程的解法和列方程解应用题，但是有些数量关系，只用整式表示是不够的。。
2、例题：甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？。
3、分析：设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做90个所用的时间是90÷x（或 ）小时，乙做60个的用的时间是［60÷（x-6）］（或 ）小时，根据题意列方程
=
可以看出 、 都不是整式。列出的方程也不是已学过的方程。学习本章内容就可以正确认识这样的式子及方程，从而解决问题。
二、新授
1．分式
在算术里，两个数相除可以表示用分数的形式。分数中的分子相当于被除数，分数中的分母相当于除数。因为零不能做除数，所以分数中的分母不能是零。
在代数里，整式的除法也有类似的表示。如前面的例题中，（90÷x）小时可表示成 小时，［60÷（x-6）］小时可表示成 小时。
又如n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷产量（m÷n）吨，可用式子 吨表示。
再如轮船的静水速度为a千米/小时。水流速度为b千米/小时，轮船在逆流中航行s千米所需时间［s÷（a-b）］小时，可用式子 小时表示。
、 、 、
的分母中都含有字母。
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式。如果B中含有字母，式子 叫做分式。基中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。可见，上列各式都是分式。
由分式的意义可以知道：
（1）分式是两个整式的商。其中分子是被除式，分母是除式。在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用。
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母。式子 、 、 都不是分式，因为它们的分母都没有字母。
（3）在分式里，分母代数式的值随式中字字母取值的不同而变化。字母所取的值有可能使分母为零。因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义。因此在分式中，分母的值不能是零，例如在 里，x≠0；在 里，a≠b。
例1 当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） 。
解：（1）由x-2≠0得x≠2，即当x≠2时，分式 有意义。
（2）由4x+1≠0得x≠ 时，分式 有意义。
例2：当x是什么数时，分式 的值是零？
解：由分子x+2=0，得x=-2。而当x=-2时，分母2x-5=-4-5≠0，
所以当x=-2时，分式 的值是零。
问题：（1）分式的值为零就是分式没有意义吗？
（2）只要分子的值是零，分式的值就是零吗？以 为例回答此题。
三、练习
练习： P60中练习1，2，3，4。
四、小结
1、本课学习了什么是分式。
2、本课还学习了使分式有意义的条件及使分式为0的未知数值的求法。
3、要特别注意分式中作为分母的代数式的值不得为零的教学。在分数里，分数的分母是一个具体的数，是否为零一目了然；而在分式里，要明确其是否有意义，就必须分析，讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零。
五、作业
1、P61习题9.1 A组1~4。
2、综合练习：同步练习。
第2课9.2分式的基本性质（1）
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教学目的
1．使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。
2．使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。
教学分析
重点：分式的意义及其基本性质。
难点：分式的变号法则。
教学过程
一、复习
1、什么是分式？
2、使分式有意义要有什么条件？
二、新授
分式的基本性质
我们知道，分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。
分数的基本性质是约分、通分和化简繁分数的理论根据。
分式也有类似的性质，就是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
其中M是不等于零的整式。
分式的基本性质是分式变号法则。通分，约分及化简繁分式的理论依据。就是说，分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据。
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） ； （2） .
解：（1）∵c≠0， ∵x≠0，
∴ ， ∴ .
例2 填空：
（1） ； （2） .
解：（1）∵a≠0，
∴ ，即填a2+ab。
（2）∵x≠0，
∴ ，即填x。
注意：
（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
课时安排：本课题约需3课时，分配如下：
三、练习 练习：P63中练习1，2。
四、小结 本节学习了分式的基本性质。
五、作业 作业：P66中习题9.2 A组1，2。
另：需要注意的问题
1．从回忆算术里分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质：
.
从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。
首先应引导学生认识到分式的基本性质中的A、B、M表示整式。随着知识的扩充，A、B、M还可代表任何代数式。
其次要强调M≠0。在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M是一个含字母的代数式。由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。因此，当我们应用这个性质时，都应考查M这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。
第3课9.2分式的基本性质（2）
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教学目的
1．使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。
2．使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。
教学分析
重点：分式的意义及其基本性质。
难点：分式的变号法则。
教学过程
一、复习
1、分式有意义的条件是什么？
2、分式的基本性质是什么？
二、新授
例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1） ； （2） .
解：（1） .
（2） .
例4 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） .
（2） .
（3） .
注意：根据分式的意义和基本性质可以归纳得：分子的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式值不变。
例5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） .
（2） .
（3） .
注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
三、练习
练习：P65中练习1，2，3。
四、小结
1、复习分式的意义及其基本性质。
2、分式的变号方法。
五、作业
作业：P66中习题9.3 A组3，4，5。
另：需要注意的问题
1．分式的变号规律是由两条法则概括而成的。第一条：分子和分母同时改变符号，分式的值不变。这一条是根据分式的基本性质推导出来的。第二条：只改变分子（分母）的符号，分式本身的符号也要改变，分式的值才不变。这一条用分式的基本性质是推导不出来的。根据分式的意义，分式表示两个整式相除，所以教科书写道：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。
分式的变号规律在分式变形中经常用到，学生对此又极容易出现错误，所以要给予足够的重视。
第4课 9.3分式的乘除法（1约分）
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教学目标
1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；
2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．
教学重点和难点
重点：分式约分的方法．
难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．
教学过程设计
一、导入新课
问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？
答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
本性质．
问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？
答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．
二、新课
我们观察：
(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．
(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．
像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．
把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．
为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？
答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．
指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．
例2 约分：
分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．
请同学说出解题思路．
答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．
当x=45时，
请同学概括分式约分的步骤．
答：
1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．
2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．
请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？
答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．
三、课堂练习
1．约分：
2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．
四、小结
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．
如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．
分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如
x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．
五、作业
1．约分：
2．约分：
3．先约分，再求值：
课堂教学设计说明
1．分式的约分和分数的约分有很多类似之处，在导入分式约分时，先充分复习分数约分的概念、方法、目的，引导学生用类比的方法学习分式的约分，从中促使学生发现新旧知识间的联系与发展，让学生在类比、概括中主动获取知识．通过讨论例题，引导学生概括分式约分的步骤．
2．学生在学习分式的约分时，不仅应掌握约分的方法，还应理解运算的算理．要求学生能知其然，也得知其所以然．教学设计中提出了一些问题，启发学生思考、回答．如提出“分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？”，从而使学生进一步明确分式约分的理论依据是分式的基本性质．
3．在课堂练习题的设计中，把学生在学习分式约分中常出现的错误展现在他们面前，引导学生独立思考、互相讨论、共同分析，辨别正确与错误，在真理和谬误中比较、鉴别是与非，以培养学生的批判性思维．
第5课9.3 分式的乘除法（2）
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教学目的
1、使学生正确掌握分式的乘除法的法则。
2、能熟练地运用分式的乘除法的法则进行计算。
教学分析
重点：分式的乘除法的法则是本节的教学重点。
难点：分子或分母为多项式的分式的乘除法是本节教学的难点。
教学过程
一、复习
1、复习提问：
(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？(可叫一位学生回答．)
(2)用投影仪(或小黑板)出示以下题目：
下列各式是否正确？为什么？。
先让学生观察思考，最后老师作结论．
2、用类比的方法总结出分式的乘除法的法则。
由分数的基本性质类比地得到分式的基本性质，由分数的约分类比地得到分式的约分．由分数乘除法的法则同样可类比地得到分式的乘除法的法则．现在我们来学习分式的乘除法．(板书课题)
让学生回忆并回答什么是“分数的乘除法的法则”；用投影仪(或小黑板)出示分数的乘除法的法则，然后启发学生，用类比的方法叙述出分式的乘除法的法则．。
二、新授
用投影仪或小黑板出示分式的乘除法法则：
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示即是：
例1 计算
分析(1)题并引导学生解答：
①(1)题是几个分式进行什么运算？
②每个分式的分子和分母都是什么代数式？
③运用分式乘除法法则得到的积的分子、分母各是什么？
④积的符号是什么？
⑤怎样应用分式的约分法则使积化成最简分式或单项式？
随手板书解题过程：
分析(2)题并引导学生自解：
①(2)题两个分式进行什么运算？
②每个分式的分子、分母各是什么代数式？
③怎样应用分式的除法法则把分式的除法运算变成分式的乘法运算？
以下可由学生写出运算结果：
(用投影仪或小黑板出示以下小结内容)
小结：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算；
②再用分式乘法法则得出积的分式；
③用分式符号法则确定积的符号；
④用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为单项式)．
三、练习
课堂练习1：
计算：
分析、引导学生
①本题是几个分式在进行什么运算？
②每个分式的分子和分母都是什么代数式？
③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？(a2-4)=(a+2)(a-2)，a2-4a+3=(a-1)(a-3)，a2+3a+2=(a+1)(a+2)．
④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？
⑤怎样应用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为多项式)？
随手板书解题过程．
课堂练习2：
计算：
小结：分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；
④应用分式约分法则使积化成最简分式或整式．
先分析：本题是分子或分母为多项式的分式乘除法混合运算，运算过程从左至右依次进行；因此，分式乘除法法则也适用于两个以上的分式相乘除．然后让学生自己做，教师巡视，并找出得出正、反两个结果的学生上台板书，让大家判断正误．
四、小结
(1)让两个学生分别用语言叙述和式子表示分式乘除法法则．
(2)课堂验收题：在余下的时间内让学生独立完成以下题目，下课时全收上来，批阅打分，以便检查课堂效果．(题目可用小黑板出示)．
❹ 怎么写通分的教案啊
《通分》教学设计
孝感市开发区三利小学 汤进兵
教学内容：通分，比较分数的大小 教学目标：
知识目标：理解和掌握通分的概念，掌握通分的方法，并能正确地把两个异分母分数进行通分。
能力目标：学生通过小组讨论找到解决问题的方法，实现知识再创造的过程，理解通分的意义，掌握通分的方法，培养共同合作能力。 情感目标：通过创设的问题情境，使学生产生兴趣，自觉主动地参与小组活动，感受学习数学的乐趣。
教学重点：理解通分的意义，能熟练灵活地掌握求两个数最小公倍数的方法。
教学难点：通分在解决实际问题中的应用。 教学过程： 一、复习导入：
1、求出下面各组数的最小公倍数。
6和9 15和5 8和9 3、6和8 2、填空。
53 624824
1/6
问：你是怎样想的，依据是什么？ 什么是分数的基本性质？ 3、比较下面各组分数的大小。
34547755○ ○ ○ ○ 131399101268
问：你是如何比较的？同分母分数怎样比较？同分子分数呢？ 二、创设问题情境：
最近我们学校准备要把整个校园围墙美化起来，学校希望美化围墙面积的，而设计人员认为可以美化围墙面积的。哪一种方案美化的面积大？你们能不能帮助老师解决这个问题？， 三、探求新知：
5
6
34
1、提出问题：要求哪一种方案美化的面积大，实际就是比较哪两个数的大小？
让学生先独立思考，有了想法后小组讨论交流，全班汇报： （1）可以转化成同分母分数进行比较
552103339 6621244312
10953因为>，所以>
121264
问：根据什么？
你为什么以12为公分母？12在这里是什么数？选其它数为公分母，如24，行吗？
让学生在下面分组讨论，各自说一说自己的想法，使学生明白:可以用两个分母的公倍数作公分母，其中用两个分母的最小公倍数作公分母，数字最简单。
2/6
（2）可以转化成同分子分数进行比较
3351555315
4452066318
151553因为>，所以>。
182064
（3）可以通过画图直接看出来
从图中可以很明显地看出：>。
（4）可以用单位“1”分别减去分数比较剩余
516653
从而得出>。
64
56
34
因为1，1，从中可得出比1小，而比1小，
341456163414
2、刚才大家说的第（1）方法是根据分数基本性质将异分母分数转化成和原来相等的同分母的分数，然后再比较大小。其实，这就是今天我们要共同研究的内容。（板书课题：通分） 3、揭示通分概念
（1）先说明：人们在比较分数大小时，一般化成同分母分数进行比较，这样比较方便。 （2）问：什么是通分？
板书：把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （3
）让学生齐读，并说一说对这句话的理解、休会。 ①“和原来分数相等”很重要。 ②“同分母”就是通分的目的和结果。
3/6
（4）问：通分的方法是怎样的？为什么要求最小公倍数？公倍数不行吗？
四、巩固应用：
1、先把下面每组中的两个分数通分，再比较它们的大小。
572374和 和 和 6978189
2、在美丽的大森林里，住着一大群可爱的小动物，它们在开春季运动会。小猴、小鹿和小兔参加了长跑比赛。结果小猴用了小时，小鹿用了小时，小兔用了小时，裁判员小猪说小兔获得了冠军。同学们想一想，小猪说得对吗？
问：要知道谁获得了冠军，该如何求？ 让学生小组讨论，自己得出：
谁用的时间最少谁就获得冠军，也就是比较这三个分数谁最小？该如何比较呢？
让学生在下面分组讨论，集体汇报： （1） 逐步通分。
72267672
，所以
9339999375714515141575再比和，因为，所以。
96918618181896
275
从而得出：，小猪说得不对,是小鹿获得了冠军。
396
79
2356
先比和，，因为
（2）一步通分。
以9、3、6的最小公倍数18作为公分母来通分。
714212515 918318618
121415275因为，所以。
181818396
4/6
问：上面两种通分方法，哪种方法比较简便些？ 五、考一考你：
刚才同学们觉得非常棒，也解决了不少问题，这时小精灵给我们提出了一个难题，想考考我们，大家有没有信心解决？
你能写出一个比大，又比小的分数吗？你是怎样找到这个分数的？还能再找到几个吗？
让学生在下面分组讨论，每组派一名代表发言。
51020161224．．．．．． ．．．．．． 30601205306012011112123
所以大于小于的分数有、、．．．．．．
656012012012341234
（2）．．．．．．． ．．．．．．
61218245101520
11233444
所以大于小于的分数有、、、、、．．．．．．
65111622172123
11
由此可得出大于小于的分数有无数个。
65
16
15
（1）
16
五、课堂小结：
本节课你学到了什么新知识？你觉得在通分过程中应注意些什么？
板书设计 通分
把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
3351555315
4452066318
151553因为>，所以>。
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