拓扑学教案3

① 为什么经济学专业要学拓扑学

什么是拓扑学？

拓扑学(topology)是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

对于经管类专业来说，学好拓扑学经济学是必要的，考研专业课绝大部分学校经济类学硕拓扑学都是必考科目，有些学校还考察政治经济学，比如人大。拓扑学经济学能提供些基本的分析经济问题的思想，比如均衡分析法等思想，金融市场基本的套利思想就与此有很大关系……

总而言之，作为经济类专业的学生，拓扑学是必须学好的

经济学又有助于我们懂得人生，建立良好的人生观，处理好和周围人群的关系，懂得个人的社会责任。学好经济学不但自己享受人生，同时也能帮助别人享受人生；懂得怎样赚钱，怎样花钱，要做钱的主人，不做钱的奴隶。

② 一般拓扑学基础 张德学 练习3.2 第5题 求答案！

（虽然没有提及，但实际我是在考虑X-U）

注意到，如果A是紧集，那么A-U作为A的闭子集（在X的拓扑下）也是紧集。假如一些A的交集在U里，那这些(A-U)的交集就是空集。

我想证明：如果一些紧集的交集是空集，那么其中有限个紧集的交集是空集。这个必须要对，原结论才对。否则的话，如果这个不对，那么取U为空集，原结论就不对了。这里我需要X是Hausdorff的（否则的话反例在下面会举出来）。

假如X是Hausdorff的（或者至少其中某一个紧集继承X的拓扑之后，所得到的拓扑是Hausdorff的），证明上一段的结论。不妨假设全集就是其中的一个紧集，否则把所有集合都和其中某一个紧集交一下，不影响结论的正确性。这样紧集就都是闭集了，而全集是一个紧集。把上一段那个要证的结论取一下补，就变成，如果一些紧集（也就是闭集）的补集的并是全集，那么其中有限个补集的并是全集，这就是在说全集是个紧集。这样就证明了上一段的结论。由此可以推出原题的结论，这是很显然的。

假如X不是Hausdorff的，可以举出反例。让X是一个无穷集，X上的拓扑是余有限拓扑（有限集是闭集，全集是闭集，其余都不是闭集）。这样X的任何一个子集（包括X自身）都是紧集（不难证），考虑所有的余有限的集合（就是它们在X中的补集是有限集），这些集合已经知道都是紧集，它们的交是空集，就把U取成空集。这时候这些余有限的紧集里，任何有限个紧集的交都不是空集U。

③ 拓扑学：三笔画出一个图形

啊呀~来那么简单，居然画不出来，自楼上的还说的得一套一套的，很明显是只会读死书死读书的人，我刚刚帮朋友解答了~ 方法就是先把纸张围在一个圆柱体上并首尾相连，当你画到死胡同时刚好可以到对面接着画，如果还有想不通的呢，你的智商也太让我无言了~

④ 拓扑学问题，S^2 * R表示三维圆柱面

S^2 * R 不是柱面，是有厚度的球壳（不过是开的），那个R可以想象成厚度，这个东西大概和R^3 - {point} 是同回胚的；答

T^2 * R 是有厚度的轮胎面；
S^1 * R^2 是一个实心的镯子，那一圈是S^1，截面（那个圆面，把外面的边去掉）是R^2；
S^2 * S^1不是R^3的子拓扑空间。S^2 * S^1是紧的，但R^3的紧子集是有界闭集，R^3的三维有界闭集肯定有边界，但S^2 * S^1没有边界。

⑤ 特征不变量为3的拓扑几何图形

??你的问题很模糊，拓扑学中涉及的特征不变量很多，就是拓扑不变量，你指的是哪个？？

⑥ 基础拓扑学的图书目录

第1章 引论
1.1 Euler定理
1.2 拓扑等价
1.3 曲面
1.4 抽象空间
1.5 一个分类定理
1.6 拓扑不变量
第2章 连续性
2.1 开集与闭集
2.2 连续映射
2.3 充满空间的曲线
2.4 Tietze扩张定理
第3章 紧致性与连通性
3.1 En的有界闭集
3.2 Heine?Borel定理
3.3 紧致空间的性质
3.4 乘积空间
3.5 连通性
3.6 道路连通性
第4章 粘合空间
4.1 Mbius带的制作
4.2 粘合拓扑
4.3 拓扑群
4.4 轨道空间
第5章 基本群
5.1 同伦映射
5.2 构造基本群
5.3 计算
5.4 同伦型
5.5 Brouwer不动点定理
5.6 平面的分离
5.7 曲面的边界
第6章 单纯剖分
6.1 空间的单纯剖分
6.2 重心重分
6.3 单纯逼近
6.4 复形的棱道群
6.5 轨道空间的单纯剖分
6.6 无穷复形
第7章 曲面
7.1 分类
7.2 单纯剖分与定向
7.3 Euler示性数
7.4 剜补运算
7.5 曲面符号
第8章 单纯同调
8.1 闭链与边缘
8.2 同调群
8.3 例子
8.4 单纯映射
8.5 辐式重分
8.6 不变性
第9章 映射度与Lefschetz数
9.1 球面的连续映射
9.2 Euler?Poincaré公式
9.3 Borsuk?Ulam定理
9.4 Lefschetz不动点定理
9.5 维数
第10章 纽结与覆叠空间
10.1 纽结的例子
10.2 纽结群
10.3 Seifert 曲面
10.4 覆叠空间
10.5 Alexander多项式
附录 生成元与关系
参考文献
……

⑦ 各位拓扑学大佬，这个对不对😁

拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

⑧ 拓扑学问题

不是说能保证T中的成员是开集。现在是，我们还不知道什么是开集，我们需要通过以前的一些经验，看看以前知道的开集都有一些什么特征，然后用这些特征，到我们未知的地方去定义那里的开集。

原先，我们在欧几里德空间，是有开集的。那时候，全集和空集都是开集（就是你所述的条件1），任意多个开集的并集还是开集（条件2），任何两个开集，或者说有限多个（是一样的）开集，它们的并仍然是开集（条件3）。在更一般的空间里，就可能没有“距离”的概念的（没有度量），但是只要有些集合放在一起满足以上的3个特征，仍然可以把它们称为开集。我们实际中对开集的应用，很多时候也无非就是用到了上面3个性质而已。

当然，欧几里德空间中的开集还有其他的性质。有很多，比如，欧几里德空间里任选两个不同的点x和y，都有包含x的一个开集和包含y的一个开集，使得这两个开集不相交。这个性质在拓扑里，你可能已经知道，叫做第二分离公理（T2公理），满足这个公理的拓扑空间叫Hausdorff空间。还有很多其他可能有的性质。但按我们通常的定义，我们不要求一个拓扑空间必须满足这些（除了你所述的3个条件以外的）要求，因为人们发现有些空间很有研究的意义，而不具备那些额外的性质。还是比如刚才所说的T2公理，那是大部分拓扑空间都应该具备的性质（至少本科拓扑课里很少触及真有意义的非Hausdorff空间），但仍然有一些很有意义的空间（比如，层）不满足这个T2公理。除了T2公理这个性质以外，还有很多很多可能的性质，拓扑课上会讲不少。允许一个拓扑空间不具有那些性质，会允许很多比较“变态”的拓扑存在（比如一个叫“余可数拓扑”的东西，它规定，X是某个无限集，空集规定为开集，任何有限集的补集，当然也就包括空集的补集，规定为开集，除此之外都不算开集，这个拓扑似乎完全是为了举反例用的，没什么其他用处或者意义），但是会把很多和欧几里德拓扑很不一样的东西的共性纳入进来（比如可以讨论连续函数），节省很多的重复工作、简化语言，这些对之后能简洁的描述其他东西都很有帮助，所以有人说，点集拓扑是一种比较基础的语言。