微積分基本定理教案

㈠ 微積分基本定理

輔助定理--費馬引理：

函數f（x）在x0的某臨域內有定義，且在點x0處函數有導數，如果對專於所有的f(x)>(<)=f(x0)，那屬么，f(x)在點x0處的導數為0；

羅爾定理：

函數f（x）滿足：

1、在[a,b]上連續

2、在(a,b)上可導

3、f(a)=f(b)

那麼，在x屬於（a，b）的范圍內，必有點δ滿足導數為0.

拉格朗日定理：

函數f（x）滿足 ：

1、在閉區間【a，b】上連續

2、在開區間（a，b）上可導

那麼，在x屬於（a，b）的的范圍內，有f（b）--f（a）=（b-a）X（函數f（x）在δ點的導數）

柯西中值定理：

函數f(x)、g(x)滿足

1、在【a，b】上連續

2、在（a，b）上可導

3、對任意x屬於（a，b），g(x)的導數！=0

那麼，存在點δ屬於（a，b），滿足f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(δ)/g'(δ).

微積分公式這里不好輸入，你還是從參考書或課本上找吧。。。

㈡ 什麼是微積分基本定理

牛頓-萊布尼茲公式（-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯系。

牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間 [ a，b ] 上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[ a，b ]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式， 1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。

如果函數

(2)微積分基本定理教案擴展閱讀：

牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。

牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。

牛頓-萊布尼茨公式是積分學理論的主幹，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型余項的泰勒公式。牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分，從一維推廣到多維。

㈢ 微積分基本定理

微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯系。牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間 [ a，b ] 上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[ a，b ]上的增量。

牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。

(3)微積分基本定理教案擴展閱讀

微積分歷史：從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是積分的思想早在古代就已經產生了。公元前7世紀，古希臘科學家、哲學家泰勒斯就對球的面積、體積、與長度等問題的研究就含有微積分思想。

公元前3世紀，古希臘的數學家、力學家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線所得的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。

中國古代數學家也產生過積分學的萌芽思想，例如三國時期的劉徽，他對積分學的思想主要有兩點：割圓術及求體積問題的設想。

㈣ 微積分基本定理的兩道題

新年好! Happy Chinese New Year !
1、只要被積函數連續，continuous，就可以積分。也就說，只要不是離內散discrete
的情況就可以積分。
2、第二題的題目敘容述有問題，應該是：
變上限的積分是否可導，而不是變上限是否可導。
正確的英文是：differentiation under integral sign。
只要上網一搜索，就知道出題人語言表達不清，因為求導是對整體求導。
在對整體求導後，將上限函數代入到被積函數中，然後再乘以上限函數的導數。
所以，該題的答案是：只要上限函數本身可導，整個求導就可以進行；如果被
積函數本身不可導，整個求導就不可以進行。

㈤ 微積分基本定理證明

這個定理的推導比較復雜，牽扯到積分上限函數：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限為自變數x，下限為常數a）。以下用∫f(x)dx表示從a到b的定積分。
首先需要證明，若函數f(x)在[a,b]內可積分，則Φ(x)在此區間內為一連續函數。
證明：給x一任意增量Δx，當x+Δx在區間[a,b]內時，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt
= Φ(x) + ∫f(t)dt
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
應用積分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（當Δx->0）
因此Φ(x)為連續函數
其次要證明：如果函數f(t)在t=x處連續，則Φ(x)在此點有導數，為
Φ'(x) = f(x)
證明：由以上結論可以得到，對於任意的ε>0，總存在一個δ>0，使|Δx|

㈥ 微積分的幾個基本定理

.函數定義域的求法：
y=1/x , D: x≠0 , (-∞,0) U (0,+∞)
y=x , D: x≥0, [0, +∞ ]
y=㏒ x , D: x＞0, (0, +∞)
y=tanx, D: x≠kπ+π/2 , k∈Z
y=cotx, D:x≠kπ , k∈Z
y=arcsin(或arccosx) , D: |x|≤1, [-1, 1]

2.常見的偶函數：|x| , cosx , x (n為正整數), e , e ……
常見的奇函數：sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , arctanx ,……

3.常見的函數周期：sinx , cosx , 其周期T=2π；
tanx , cotx , |sinx| , |cosx| , 其周期 T=π.

4.三個恆等式：a =x ; arcsinx + arccosx = π/2 ; arctanx + arccotx = π/2

5.常用的等價形式：當x→0時， sinx ~ x , arcsinx ~ x , tanx ~ x , arctan x ~ x ,
㏑(1+ x) ~ x , e –1 ~ x , 1-cosx ~ (1/2)x², (1+x) -1 ~ (1/n)x

6.極限：Lim­——— =1 , Lim( 1+x ) = e

當x→+∞時，以下各函數趨勢於+∞的速度為：
㏑x , xⁿ (n＞0) , a (a＞1) , x
由慢到快
當n→∞時
㏑x , xⁿ (n＞0) , a (a＞1) , n! , x
由慢到快
7.積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一個點ξ使 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a)
8.微分中值定理：若函數f(x)滿足條件：函數f(x)在x 的某鄰域內有定義，並且在此鄰域內恆有
f(x)≤f (x )或f(x)≥f (x ),f(x)在 x 處可導，則有f′(x )=0
9.洛爾定理：設函數f(x)滿足條件：在閉區間[a,b]上連續；在開區間(a,b)內可導；f(a)=f(b)，則
在(a,b)內至少存在一個ξ，使f′(ξ)=0
10.拉格朗日中值定理：設函數f(x)滿足條件：在閉區間[a,b]上連續；在開區間(a,b)內可導；f(a)=f(b)，則在(a,b)內至少存在一個ξ，使———— = f′(ξ)