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因式分解提公因式法教案

發布時間:2020-12-23 08:59:20

A. 因式分解公式法和提公因式法的練習題

^1.a^-4a+3
2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n
3.x^2+(a+1/a)xy+y^2
4.9a^2-4b^2+4bc-c^2
5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)
答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)
2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1]
3.(ax+y)(1/ax+y)
4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)
5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)
= (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc)
=c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc
=c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc
=(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b)
=(a-2b-c)^2

1.x^2+2x-8
2.x^2+3x-10
3.x^2-x-20
4.x^2+x-6
5.2x^2+5x-3
6.6x^2+4x-2
7.x^2-2x-3
8.x^2+6x+8
9.x^2-x-12
10.x^2-7x+10
11.6x^2+x+2
12.4x^2+4x-3
解方程:(x的平方+5x-6)分之一=(x的平方+x+6)分之一
十字相乘法雖然比較難學,但是一旦學會了它,用它來解題,會給我們帶來很多方便,以下是我對十字相乘法提出的一些個人見解。
1、十字相乘法的方法:十字左邊相乘等於二次項系數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項系數。
2、十字相乘法的用處:(1)用十字相乘法來分解因式。(2)用十字相乘法來解一元二次方程。
3、十字相乘法的優點:用十字相乘法來解題的速度比較快,能夠節約時間,而且運用算量不大,不容易出錯。
4、十字相乘法的缺陷:1、有些題目用十字相乘法來解比較簡單,但並不是每一道題用十字相乘法來解都簡單。2、十字相乘法只適用於二次三項式類型的題目。3、十字相乘法比較難學。
5、十字相乘法解題實例:
1)、 用十字相乘法解一些簡單常見的題目
例1把m²+4m-12分解因式
分析:本題中常數項-12可以分為-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1當-12分成-2×6時,才符合本題
解:因為 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)
例2把5x²+6x-8分解因式
分析:本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。當二次項系數分為1×5,常數項分為-4×2時,才符合本題
解: 因為 1 2
5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4)
例3解方程x²-8x+15=0
分析:把x²-8x+15看成關於x的一個二次三項式,則15可分成1×15,3×5。
解: 因為 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可變形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析:把6x²-5x-25看成一個關於x的二次三項式,則6可以分為1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1。
解: 因為 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可變形成(2x-5)(3x+5)=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比較難的題目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析:把14x²-67xy+18y²看成是一個關於x的二次三項式,則14可分為1×14,2×7, 18y²可分為y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因為 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析:在本題中,要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-(27y+1)x -(28y²-25y+3) 4y -3
7y ╳ -1
=10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)
=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1)
5 ╳ 4y - 3
=(2x -7y +1)(5x +4y -3)
說明:在本題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為(4y-3)(7y -1),再用十字相乘法把10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解為[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y
=[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y
=(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1
5 x - 4y ╳ -3
說明:在本題中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解為[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3].
例7:解關於x方程:x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析:2a²–ab-b²可以用十字相乘法進行因式分解
解:x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0
x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b
2 ╳ +b
[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b)
1 ╳ -(a-b)
所以 x1=2a+b x2=a-b
5-7(a+1)-6(a+1)^2
=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]
=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]
=-(2a+1)(3a+8);

-4x^3 +6x^2 -2x
=-2x(2x^2-3x+1)
=-2x(x-1)(2x-1);

6(y-z)^2 +13(z-y)+6
=6(z-y)^2+13(z-y)+6
=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]
=(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7這個式子
由於一次冪x前系數為6
所以,我們可以想到,7-1=6
那正好這個式子的常數項為-7
因此我們想到將-7看成7*(-1)
於是我們作十字相成
x +7
x -1
的到(x+7)·(x-1)
成功分解了因式

3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2
=3ab^2(1-3a+2a^2)
=3ab^2(2a^2-3a+1)
=3ab^2(2a-1)(a-1)

5-7(a+1)-6(a+1)^2
=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]
=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]
=-(2a+1)(3a+8);

-4x^3 +6x^2 -2x
=-2x(2x^2-3x+1)
=-2x(x-1)(2x-1);

6(y-z)^2 +13(z-y)+6
=6(z-y)^2+13(z-y)+6
=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]
=(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7這個式子
由於一次冪x前系數為6
所以,我們可以想到,7-1=6
那正好這個式子的常數項為-7
因此我們想到將-7看成7*(-1)
於是我們作十字相成
x +7
x -1
的到(x+7)·(x-1)
成功分解了因式

3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2
=3ab^2(1-3a+2a^2)
=3ab^2(2a^2-3a+1)
=3ab^2(2a-1)(a-1)

x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5).
⑹十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的系數是1;常數項是兩個數的積;一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
圖示如下:
a b
×
c d
例如:因為
1 -3
×
7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口訣:首尾分解,交叉相乘,求和湊中
⑶分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識。
能分組分解的方程有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法。
比如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難。
同樣,這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明:系數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕松解出。
2. x3-x2+x-1
解法:=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然後相合輕松解決。
3. x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y+1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決。

758²—258² =(758+258)(758-258)=1016*500=508000

B. 提公因式法的解題步驟

提取公因式法是抄因式分解的一種襲基本方法。如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提取出來作為多項式的一個因式,提取公因式後的式子放在括弧里,作為另一個因式。
提取公因式是乘法分配律的逆運算,其最簡形式為:ma+mb+mc=m(a+b+c) 。
提取公因式法分解因式的解題步驟是怎樣的?
利用提公因式法分解因式時,一般分兩步進行:
(1)提公因式。把各項中相同字母或因式的最低次冪的積作為公因式提出來;當系數為整數時,還要把它們的最大公約數也提出來,作為公因式的系數;當多項式首項符號為負時,還要提出負號 。
(2)用公因式分別去除多項式的每一項,把所得的商的代數和作為另一個因式,與公因式寫成積的形式。
由於題目形式千變萬化,解題時也不能生搬硬套。例如,有的需要先對題目適當整理變形;有的分解因式後多項式因式中有同類項的還要進行合並化簡;還有的提取公因式後能用其他方法繼續分解。

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