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19.4 菱形
19.4.1 菱形（一）
一、教學目的：
1．掌握菱形概念，知道菱形與平行四邊形的關系．
2．理解並掌握菱形的定義及性質1、2；會用這些性質進行有關的論證和計算，會計算菱形的面積．
3．通過運用菱形知識解決具體問題，提高分析能力和觀察能力．
4．根據平行四邊形與矩形、菱形的從屬關系，通過畫圖向學生滲透集合思想．
二、重點、難點
1．教學重點：菱形的性質1、2．
2．教學難點：菱形的性質及菱形知識的綜合應用．
三、例題的意圖分析
本節課安排了兩個例題，例1是一道補充題，是為了鞏固菱形的性質；例2是教材P108中的例2，這是一道用菱形知識與直角三角形知識來求菱形面積的實際應用問題．此題目，除用以鞏固菱形性質外，還可以引導學生用不同的方法來計算菱形的面積，以促進學生熟練、靈活地運用知識．
四、課堂引入
1．（復習）什麼叫做平行四邊形？什麼叫矩形？平行四邊形和矩形之間的關系是什麼？
2．（引入）我們已經學習了一種特殊的平行四邊形——矩形，其實還有另外的特殊平行四邊形，請看演示：（可將事先按如圖做成的一組對邊可以活動的教具進行演示）如圖，改變平行四邊形的邊，使之一組鄰邊相等，從而引出菱形概念．
菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
【強調】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．
讓學生舉一些日常生活中所見到過的菱形的例子．
五、例習題分析
例1 （補充） 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F是AB上一點，DF交AC於E．
求證：∠AFD=∠CBE．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．
例2 （教材P108例2）略
六、隨堂練習
1．若菱形的邊長等於一條對角線的長，則它的一組鄰角的度數分別為 ．
2．已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm ，求菱形的周長和面積．
3．已知菱形ABCD的周長為20cm，且相鄰兩內角之比是1∶2，求菱形的對角線的長和面積．
4．已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE．
七、課後練習
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周長為 8cm，求菱形的高．
2．如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm，求（1）對角線AC的長度；（2）菱形ABCD的面積．
19.4.2 菱形（二）
一、教學目的：
1．理解並掌握菱形的定義及兩個判定方法；會用這些判定方法進行有關的論證和計算；
2．在菱形的判定方法的探索與綜合應用中，培養學生的觀察能力、動手能力及邏輯思維能力．
二、重點、難點
1．教學重點：菱形的兩個判定方法．
2．教學難點：判定方法的證明方法及運用．
三、例題的意圖分析
本節課安排了兩個例題，其中例1是教材P109的例3，例2是一道補充的題目，這兩個題目都是菱形判定方法的直接的運用，主要目的是能讓學生掌握菱形的判定方法，並會用這些判定方法進行有關的論證和計算．這些題目的推理都比較簡單，學生掌握起來不會有什麼困難，可以讓學生自己去完成．程度好一些的班級，可以選講例3．
四、課堂引入
1．復習
（1）菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形；
（2）菱形的性質1 菱形的四條邊都相等；
性質2 菱形的對角線互相平分，並且每條對角線平分一組對角；
（3）運用菱形的定義進行菱形的判定，應具備幾個條件？（判定：2個條件）
2．【問題】要判定一個四邊形是菱形，除根據定義判定外，還有其它的判定方法嗎？
3．【探究】（教材P109的探究）用一長一短兩根木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可轉動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形．轉動木條，這個四邊形什麼時候變成菱形？
通過演示，容易得到：
菱形判定方法1 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．
通過教材P109下面菱形的作圖，可以得到從一般四邊形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2 四邊都相等的四邊形是菱形．
五、例習題分析
例1 （教材P109的例3）略
例2（補充）已知：如圖 ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交於E、F．
求證：四邊形AFCE是菱形．
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四邊形AFCE是平行四邊形．
又 EF⊥AC，
∴ AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)．
※例3（選講） 已知：如圖，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB與D，EH⊥AB於H，CD交BE於F．
求證：四邊形CEHF為菱形．
略證：易證CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因為∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四邊形CEHF為菱形．
六、隨堂練習
1．填空：
（1）對角線互相平分的四邊形是 ；
（2）對角線互相垂直平分的四邊形是________；
（3）對角線相等且互相平分的四邊形是________；
（4）兩組對邊分別平行，且對角線 的四邊形是菱形．
2．畫一個菱形，使它的兩條對角線長分別為6cm、8cm．
3．如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交於E，求證：四邊形OCED是菱形。
七、課後練習
1．下列條件中，能判定四邊形是菱形的是 （ ）．
（A）兩條對角線相等 （B）兩條對角線互相垂直
（C）兩條對角線相等且互相垂直 （D）兩條對角線互相垂直平分
2．已知：如圖，M是等腰三角形ABC底邊BC上的中點，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求證：四邊形MEND是菱形．
3．做一做：
設計一個由菱形組成的花邊圖案．花邊的長為15 cm，寬為4 cm，由有一條對角線在同一條直線上的四個菱形組成，前一個菱形對角線的交點，是後一個菱形的一個頂點．畫出花邊圖形．
19.5 正方形
19.5.1正方形（一）
一、教學目的
1．掌握正方形的概念、性質和判定，並會用它們進行有關的論證和計算．
2．理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯系和區別，通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯系的教學對學生進行辯證唯物主義教育，提高學生的邏輯思維能力．
二、重點、難點
1．教學重點：正方形的定義及正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯系．
2．教學難點：正方形與矩形、菱形的關系及正方形性質與判定的靈活運用．
三、例題的意圖分析
本節課安排了三個例題，例1是教材P111的例4，例2與例3都是補充的題目．其中例1與例2是正方形性質的應用，在講解時，應注意引導學生能正確的運用其性質．例3是正方形判定的應用，它是先判定一個四邊形是矩形，再證明一組鄰邊，從而可以判定這個四邊形是正方形．隨後可以再做一組判斷題，進行練習鞏固（參看隨堂練習1），為了活躍學生的思維，也可以將判斷題改為下列問題讓學生思考：
①對角線相等的菱形是正方形嗎？為什麼？
②對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什麼？
③對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什麼？如果不是，應該加上什麼條件？
④能說「四條邊都相等的四邊形是正方形」嗎？為什麼？
⑤說「四個角相等的四邊形是正方形」對嗎？
四、課堂引入
1．做一做：用一張長方形的紙片（如圖所示）折出一個正方形．
學生在動手做中對正方形產生感性認識，並感知正方形與矩形的關系．問題：什麼樣的四邊形是正方形？
正方形定義：有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四邊形這個大前提下定義的，其定義包括了兩層意：
（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）
（2）有一個角是直角的平行四邊形 （矩形）
2．【問題】正方形有什麼性質？
由正方形的定義可以得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質．
五、例習題分析
例1（教材P111的例4） 求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形．
已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交於點O（如圖）．
求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
證明：∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
並且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2 （補充）已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上的一點，DG⊥AE於G，DG交OA於F．
求證：OE=OF．
分析：要證明OE=OF，只需證明△AEO≌△DFO，由於正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的餘角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根據ASA可以得到這兩個三角形全等，故結論可得．
證明：∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的對角線垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
例3 （補充）已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點A、C兩點作l1∥l2，作BM⊥l1於M，DN⊥l1於N，直線MB、DN分別交l2於Q、P點．
求證：四邊形PQMN是正方形．
分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證△ABM≌△DAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP．即可證出MN=NP．從而得出結論．
證明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四邊形PQMN是矩形．
∵ 四邊形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．
六、隨堂練習
1．正方形的四條邊____ __，四個角___ ____，兩條對角線____ ____．
2．下列說法是否正確，並說明理由．
①對角線相等的菱形是正方形；（ ）
②對角線互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③對角線垂直且相等的四邊形是正方形；（ ）
④四條邊都相等的四邊形是正方形；（ ）
⑤四個角相等的四邊形是正方形．（ ）
1． 已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E、F分別
為CD、CB延長線上的點，且DE＝BF．
求證：∠AFE＝∠AEF．
4．如圖，E為正方形ABCD內一點，且△EBC是等邊三角形，
求∠EAD與∠ECD的度數．
七、課後練習
1．已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF．
求證：EA⊥AF．
2．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC於E，DF⊥AC於F．求證：四邊形CFDE是正方形．
3．已知：如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點，AF平分∠DAE交CD於F，求證：AE=BE+DF．
19．6 梯形
19.6.1 梯形（一）
一、教學目標：
1． 探索並掌握梯形的有關概念和基本性質，探索、了解並掌握等腰梯形的性質．
2． 能夠運用梯形的有關概念和性質進行有關問題的論證和計算，進一步培養學生的分析問題能力和計算能力．
3． 通過添加輔助線，把梯形的問題轉化成平行四邊形或三角形問題，使學生體會圖形變換的方法和轉化的思想．
二、重點、難點
1．重點：等腰梯形的性質及其應用．
2．難點：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉化為平行四邊形和三角形及正確運用輔助線），及梯形有關知識的應用．
三、例題的意圖分析
本節課安排了三個例題，例1是教材P118中的例1．它是等腰梯形性質的直接運用．題目比較簡單，在教學中，最好讓學生分析、講解、解答．同時也要注意引導學生，在證明△EAD是等腰三角形時，要用到梯形的定義「上下底互相平行（AD∥BC）」這一點．
例2與例3都是補充的題目，例2是一道計算題，例3是一道證明題，其用意一是為了鞏固其概念，二是輔助線添加方法的練習，這兩個題目的輔助線均是「平移一腰」，老師們在教學或練習中也可以再補充一些其它輔助線添加方法的題目，讓學生多了解多見識．（但由於本教材在梯形這一部分知識中，並沒有添加輔助線的要求，因此所選的題目不要太難．）通過題目的練習與講解應讓學生知道：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當的輔助線，把梯形問題轉化為已經熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決．在教學時應讓學生注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對於學好梯形內容很有幫助．
四、課堂引入
1．創設問題情境——引出梯形概念．
【觀察】（教材P117中的觀察）右圖中，有你熟悉的圖形嗎？它們有什麼共同的特點？
2．畫一畫：在下列所給圖中的每個三角形中畫一條線段，
【思考】（1）怎樣畫才能得到一個梯形？
（2）在哪些三角形中，能夠得到一個等腰梯形？
梯形 一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．
（強調：①梯形與平行四邊形的區別和聯系；②上、下底的概念是由底的長短來定義的，而並不是指位置來說的．）
（1）一些基本概念（如圖）：底、腰、高．
（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．
3．做—做——探索等腰梯形的性質（引入用軸對稱解決問題的思想）．
在一張方格紙上作一個等腰梯形，連接兩條對角線．
【問題一】圖中有哪些相等的線段？有哪些相等的角？這個圖形是軸對稱圖形嗎？學生畫圖並通過觀察猜想；
【問題二】這個等腰梯形的兩條對角線的長度有什麼關系？
結論： ①等腰梯形是軸對稱圖形，上下底的中點連線是對稱軸．
②等腰梯形同一底上的兩個角相等．
③等腰梯形的兩條對角線相等．
五、例習題分析
例1（教材P118的例1）略．
（延長兩腰 梯形輔助線添加方法三）
例2（補充）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的長．
分析：設法把已知中所給的條件都移到一個三角形中，便可以解決問題．其方法是：平移一腰，過點A作AE∥DC交BC於E，因此四邊形AECD是平行四邊形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
解（略）．
例3 （補充） 已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC於E．求證：BE＝CD．
分析：要證BE=CD，需添加適當的輔助線，構造全等三角形，其方法是：平移一腰，過點D作DF∥AB交BC於F，因此四邊形ABFD是平行四邊形，則DF=AB，由已知可導出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．
證明（略）
另證：如圖，根據題意可構造等腰梯形ABFD，證明△ABE≌△FDC即可．
六、隨堂練習
1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,則DC= ．
（2）直角梯形的高為6cm，有一個角是30°，則這個梯形的兩腰分別是 和 ．
（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周長為8cm，則AD= ．
2．已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周長是20cm，求梯形的各邊的長． （AD=DC=BC=4，AB=8）
3．求證：等腰梯形兩腰上的高相等．
七、課後練習
1．填空：已知直角梯形的兩腰之比是1∶2，那麼該梯形的最大角為 ，最小角為 ．
2．已知等腰梯形的銳角等於60°它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長和面積．
3．已知：如圖，梯形ABCD中，CD//AB， ， ．
求證：AD=AB—DC．
4．已知，如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，DE⊥CE，求證：AD+BC=DC．（延長DE交CB延長線於點F，由全等可得結論）
19.6.2 梯形（二）
一、教學目標：
1．通過探究教學，使學生掌握「同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形」這個判定方法，及其此判定方法的證明．
2．能夠運用等腰梯形的性質和判定方法進行有關的論證和計算，體會轉化的思想，數學建模的思想，會用分析法尋求證明題思路，從而進一步培養學生的分析能力和計算能力．
3．通過添加輔助線，把梯形的問題轉化成平行四邊形或三角形問題，使學生體會圖形變換的方法和轉化的思想．
二、重點、難點
1．重點：掌握等腰梯形的判定方法並能運用．
2．難點：等腰梯形判定方法的運用．
三、例題的意圖分析
本節課安排的例題與練習較多，可供老師們選用．
例1是教材P119的例2，這是一道計算題，講解時要讓學生注意，已知中並沒有給出等腰梯形的條件，它需要先判定梯形ABCD為等腰梯形，然後再用其性質得出結論．
例2、例3、例4都是補充的題目．其中例2是一道文字題，這道題在進行證明時，可採用「平移對角線」或「作高」兩種不同的方法，通過講解例2，可以再次給學生介紹解決梯形問題時輔助線的添加方法．
例3是一道證明等腰梯形的題，它需要先證明其四邊形是梯形，即先證出EG∥AB，此時還要由AE，BG延長交於O，說明EG≠AB，才能得出四邊形ABGE是梯形．然後再利用同底上的兩角相等得出這個梯形是等腰梯形．選講此題的目的是為了讓學生了解和掌握證明一個四邊形是等腰梯形的步驟與方法．
例4是一道作圖題，新教材P119的練習4就是一道畫梯形圖的題，此例4與練習4相同．通過此題的講解與練習，就是要加強學生對梯形概念的理解，並了解梯形作圖的一般方法．讓學生知道梯形的畫圖題，也常常是通過分析，找出需要添加的輔助線，先畫出三角形或四邊形，再根據它們之間的聯系畫出所要求的梯形．
四、課堂引入
1．復習提問：（1）什麼樣的四邊形叫梯形，什麼樣的梯形是直角梯形、等腰梯形？
（2）等腰梯形有哪些性質？它的性質定理是怎樣證明的？
（3）在研究解決梯形問題時的基本思想和方法是什麼？常用的輔助線有哪幾種？
我們已經掌握了等腰梯形的性質，那麼又如何來判定一個梯形是否是等腰梯形呢？今天我們就共同來研究這個問題．
2．【提出問題】：前面所學的特殊四邊形的判定基本上是性質的逆命題．等腰梯形同一底上兩個角相等的逆命題是什麼？
命題：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
問：這個命題是否成立？能否加以證明，引導學生寫出已知、求證．
啟發：能否轉化為特殊四邊形或三角形，鼓勵學生大膽猜想，和求證．
已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．
求證：AB=CD．
分析：我們學過「如果一個三角形中有兩個角相等，那麼它們所對的邊相等．」因此，我們只要能將等腰梯形同一底上的兩個角轉化為等腰三角形的兩個底角，命題就容易證明了．
證明方法1：過點D作DE∥AB交BC於點F，得到△DEC．
∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，
∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C．∴DE＝DC．
又∵AD∥BC，∴DE＝AB=DC．
證明時，可以仿照性質證明時的分析，來啟發學生添加輔助線DE．
證明方法二：用常見的梯形輔助線方法：過點A作AE⊥BC， 過D作DF⊥BC，垂足分別為E、F（見圖一）．
證明方法三： 延長BA、CD相交於點E（見圖二）． 圖一 圖二
通過證明：驗證了命題的正確性，從而得到：等腰梯形判定方法
等腰梯形判定方法 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．
幾何表達式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，則AB=DC．
【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用「兩腰相等」「或同一底上的兩個角相等」來判定它是等腰梯形．
五、例、習題分析
例1（教材P119的例2）
例2（補充） 證明：對角線相等的梯形是等腰梯形．
已知：如圖，梯形ABCD中，對角線AC=BD．
求證：梯形ABCD是等腰梯形．
分析：證明本題的關鍵是如何利用對角線相等的條件來構造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有兩邊對應相等，要能證∠1=∠2，就可通過證ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．
證明：過點D作DE∥AC，交BC的延長線於點E，
又 AD∥BC，∴ 四邊形ACED為平行四邊形， ∴ DE=AC ．
∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E
∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2
又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC≌ΔDCB． ∴ AB=CD．
∴ 梯形ABCD是等腰梯形．
說明：如果AC、BD交於點O，那麼由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形對角線相交，可以得到以交點為頂點的兩個等腰三角形，這個結論雖不能直接引用，但可以為以後解題提供思路．
問：能否有其他證法，引導學生作出常見輔助線，如圖，作AE⊥BC，DF⊥BC，可證 RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．
例3（補充） 已知：如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，CF⊥BE交BD於G，F是垂足．求證：四邊形ABGE是等腰梯形．
分析：先證明OE＝OG，從而說明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延長交於O，顯然EG≠AB．得出四邊形ABGE是梯形，再利用同底上的兩角相等得出它為等腰梯形．
例4 （補充）畫一等腰梯形，使它上、下底長分別4cm、12cm，高為3cm，並計算這個等腰梯形的周長和面積．
分析：梯形的畫圖題常常通過分析，找出需添加的輔助線，歸結為三角形或平行四邊形的作圖，然後，再根據它們之間的聯系，畫出所要求的梯形．
如圖，先算出AB長，可畫等腰三角形ABE，然後完成 AECD的畫圖．
畫法：①畫ΔABE，使BE=12—4=8cm．
.
②延長BE到C使EC=4cm.
③分別過A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交於點D．
四邊形ABCD就是所求的等腰梯形．
解：梯形ABCD周長＝4＋12＋5×2＝26cm ．
答：梯形周長為26cm，面積為24 ．
六、隨堂練習
1．下列說法中正確的是（ ）．
（A）等腰梯形兩底角相等
（B）等腰梯形的一組對邊相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的兩個角都等於90度
（D）等腰梯形的四個內角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周長25cm,上、下底分別為7cm、8cm，則腰長為_______cm．
3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一條對角線和一腰垂直，求這個梯形的各個角的度數．
4．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
（略證 ，AD=BC， ，∴ AB∥DC）
5．已知，如圖，E、F分別是梯形ABCD的兩底AD、BC的中點，且EF⊥BC，求證：梯形ABCD是等腰梯形．
七、課後練習
1．等腰梯形一底角 ，上、下底分別為8，18，則它的腰長為______，高為______，面積是_________．
2．梯形兩條對角線分別為15，20，高為12，則此梯形面積為_________．
3．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C，AB與CD不平行，且AB=CD．求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
4．如圖4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB於E，若AC⊥BD於G．求證：CE= （AB+CD）．
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19.4 菱形
19.4.1 菱形（一）
一、教學目的：
1．掌握菱形概念，知道菱形與平行四邊形的關系．
2．理解並掌握菱形的定義及性質1、2；會用這些性質進行有關的論證和計算，會計算菱形的面積．
3．通過運用菱形知識解決具體問題，提高分析能力和觀察能力．
4．根據平行四邊形與矩形、菱形的從屬關系，通過畫圖向學生滲透集合思想．
二、重點、難點
1．教學重點：菱形的性質1、2．
2．教學難點：菱形的性質及菱形知識的綜合應用．
三、例題的意圖分析
本節課安排了兩個例題，例1是一道補充題，是為了鞏固菱形的性質；例2是教材P108中的例2，這是一道用菱形知識與直角三角形知識來求菱形面積的實際應用問題．此題目，除用以鞏固菱形性質外，還可以引導學生用不同的方法來計算菱形的面積，以促進學生熟練、靈活地運用知識．
四、課堂引入
1．（復習）什麼叫做平行四邊形？什麼叫矩形？平行四邊形和矩形之間的關系是什麼？
2．（引入）我們已經學習了一種特殊的平行四邊形——矩形，其實還有另外的特殊平行四邊形，請看演示：（可將事先按如圖做成的一組對邊可以活動的教具進行演示）如圖，改變平行四邊形的邊，使之一組鄰邊相等，從而引出菱形概念．
菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
【強調】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．
讓學生舉一些日常生活中所見到過的菱形的例子．
五、例習題分析
例1 （補充） 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F是AB上一點，DF交AC於E．
求證：∠AFD=∠CBE．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．
例2 （教材P108例2）略
六、隨堂練習
1．若菱形的邊長等於一條對角線的長，則它的一組鄰角的度數分別為 ．
2．已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm ，求菱形的周長和面積．
3．已知菱形ABCD的周長為20cm，且相鄰兩內角之比是1∶2，求菱形的對角線的長和面積．
4．已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE．
七、課後練習
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周長為 8cm，求菱形的高．
2．如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm，求（1）對角線AC的長度；（2）菱形ABCD的面積．
19.4.2 菱形（二）
一、教學目的：
1．理解並掌握菱形的定義及兩個判定方法；會用這些判定方法進行有關的論證和計算；
2．在菱形的判定方法的探索與綜合應用中，培養學生的觀察能力、動手能力及邏輯思維能力．
二、重點、難點
1．教學重點：菱形的兩個判定方法．
2．教學難點：判定方法的證明方法及運用．
三、例題的意圖分析
本節課安排了兩個例題，其中例1是教材P109的例3，例2是一道補充的題目，這兩個題目都是菱形判定方法的直接的運用，主要目的是能讓學生掌握菱形的判定方法，並會用這些判定方法進行有關的論證和計算．這些題目的推理都比較簡單，學生掌握起來不會有什麼困難，可以讓學生自己去完成．程度好一些的班級，可以選講例3．
四、課堂引入
1．復習
（1）菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形；
（2）菱形的性質1 菱形的四條邊都相等；
性質2 菱形的對角線互相平分，並且每條對角線平分一組對角；
（3）運用菱形的定義進行菱形的判定，應具備幾個條件？（判定：2個條件）
2．【問題】要判定一個四邊形是菱形，除根據定義判定外，還有其它的判定方法嗎？
3．【探究】（教材P109的探究）用一長一短兩根木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可轉動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形．轉動木條，這個四邊形什麼時候變成菱形？
通過演示，容易得到：
菱形判定方法1 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．
通過教材P109下面菱形的作圖，可以得到從一般四邊形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2 四邊都相等的四邊形是菱形．
五、例習題分析
例1 （教材P109的例3）略
例2（補充）已知：如圖 ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交於E、F．
求證：四邊形AFCE是菱形．
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四邊形AFCE是平行四邊形．
又 EF⊥AC，
∴ AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)．
※例3（選講） 已知：如圖，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB與D，EH⊥AB於H，CD交BE於F．
求證：四邊形CEHF為菱形．
略證：易證CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因為∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四邊形CEHF為菱形．
六、隨堂練習
1．填空：
（1）對角線互相平分的四邊形是 ；
（2）對角線互相垂直平分的四邊形是________；
（3）對角線相等且互相平分的四邊形是________；
（4）兩組對邊分別平行，且對角線 的四邊形是菱形．
2．畫一個菱形，使它的兩條對角線長分別為6cm、8cm．
3．如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交於E，求證：四邊形OCED是菱形。
七、課後練習
1．下列條件中，能判定四邊形是菱形的是 （ ）．
（A）兩條對角線相等 （B）兩條對角線互相垂直
（C）兩條對角線相等且互相垂直 （D）兩條對角線互相垂直平分
2．已知：如圖，M是等腰三角形ABC底邊BC上的中點，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求證：四邊形MEND是菱形．
3．做一做：
設計一個由菱形組成的花邊圖案．花邊的長為15 cm，寬為4 cm，由有一條對角線在同一條直線上的四個菱形組成，前一個菱形對角線的交點，是後一個菱形的一個頂點．畫出花邊圖形．
❸ 人教版初二下學期物理、數學有關知識
電磁鐵是指帶鐵芯的螺線管
重點是影響電磁鐵磁性強弱的因素內,
電磁鐵的優點和應用容也是應該掌握的部分.
地磁場分布情況可參照書本的圖
菱形的特徵是對邊兩兩平行,四邊都相等,對角線相互垂直
其他的就不清楚了，你可以搜索一下相關的
教案,希望對你有所幫助.