數學變式教學

『壹』 數學變式教學

數學教學思維能力培養之我見

對學生思維能力的培養是數學教學三大能力之一.在平時的教學中,既要注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想像力的培養。特別是直覺思維能力的培養由於長期得不到重視，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的；同時對數學的學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。
一、數學直覺思維的闡釋
數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。
直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定並沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想像千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在於他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂』直覺』……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。
從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重於演繹，而直觀重於分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重並不等於完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基於直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。
一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多演繹推理元素，一個成功的數學證明是這些基本運算或演繹推理元素的一個成功的組合，彷彿是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和演繹推理元素就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什麼這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什麼東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。
在教育過程中，老師由於把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功於邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，約30％的初中生學習了平面幾何推理之後，喪失了對數學學習的興趣，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

『貳』 如何在數學課堂中實施變式教學

在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生版正確概括權的思維能力。 從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，

『叄』 如何在初中數學課中進行變式教學

一、遞進變異

遞進變異是指題目由特殊到一般的變異，而解題需要的基礎知識保持不變。一是題目的條件由特殊到一般，由簡單到復雜變異，這樣可形成遞進式變式題組。遞進式變式題組是指在課堂教學中，為了達到某一教學目的，根據學生的認知規律，合理、有效地設計一組數學問題，且這組數學問題又有一定的內在邏輯聯系，即前一個問題是後一個問題的特殊情況，後一個問題是前一個問題的一般的、情況，這樣由特殊到一般的題目組合稱為遞進式變式題組。這種遞進式變式題組，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋式上升，有利於學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規律、突破教學難點。二是在解題的一般規律不變的情況下，通過變化非本質屬性，有利於學生從中分離出一般的規律。三是有利於不同層次的學生。由於問題由簡單到復雜，可使不同層次的學生順著台階一步步的往上爬，並從中掌握一般規律。例如，在「分式」的教學中，設計如下作業。

案例1：

六、幾點思考

第一，基於變異理論進行變式教學，題目的變異要圍繞不變的本質而展開。變異的目的是要學生通過幾個實例發現並總結、歸納出解決問題的一般性原理（規律）. 因此，在進行變異時，首先要明確問題的本質，然後圍繞問題的本質不變，變化非本質屬性，以突出問題的本質屬性，使此類問題的一般性原理凸出出來。

第二，重復有利於提高學生數學知識的記憶強度。變異是在本質不變的情況下展開的，也就是說學生解答此類問題運用的思想方法是相同的. 因此，學生要重復使用相同的原理解答題目，是一種重復的思維活動。認知心理學的研究表明，重復可以增強學生對知識的記憶，能夠使長時記憶中的記憶強度增加，即記憶的痕跡大，這樣在學生解答其他問題時，便於從長時記憶中提取需要遷移的信息，從而提高分析問題和解決問題的能力。

第三，變異有利於不同層次學生發現並總結掌握問題的一般原理。學生之間的差異是客觀存在的，不同的學生其解決問題的能力，以及歸納、概括的能力是不同的. 因此，在進行題目變異時，要使題目有一定的梯度，也就是要遞進式變異，由簡單到復雜，從而使不同層次的學生都能夠從中分析並發現一般性的原理。

『肆』 如何在變式教學中培養學生的數學思維能力

數學思維是人腦與數學對象交互作用並按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動.在公式、定理、性質的教學過程中，教師精心編制一系列由簡單到復雜的變式訓練題，組織學生進行嘗試練習，引導學生參與知識的發現、探索、推導過程，可以提高思維的探究水平，更可以掌握具有廣泛性的思維方法.
一、問題提出的背景
學生數學學習的認知水平一般分為三個層次：記憶模仿型、說明性理解型與探究性理解型.為了培養與提高學生的數學思維能力，引導學生向探究性理解型發展，教師在課堂教學中，要敢於和善於給學生提供一定的獨立思考、發現問題的條件和機會.適當地進行變式訓練、一題多解、一法多用，可以讓學生形成富於聯想的思維習慣.數學公式作為解題的工具，深刻理解並准確掌握數學公式是學好數學的第一關.數學公式應用廣泛，推導方法具有代表性，所以人們把它比喻為「數量關系的精髓」.在一般的數學教學中，我們通常是推導公式，首先教師講解例題進行示範，然後學生模仿反復練習.一兩堂課下來，學生對數學課的印象就是推導公式、代公式解題，純粹把數學課看成做題目的枯燥無味的課，長此以往，對數學課就越來越沒興趣.如何提高學生學習數學的興趣，讓學生真正地參與課堂，在實踐中培養學生的數學思維，是數學老師一直思考的問題.
二、案例再現
以五年制高等師范數學教材中的「二倍角的三角函數」這節內容為例，老師在引導學生推導出公式後，對公式進行變形研究，使學生能夠找到它的一些其他形式並進行相應的應用.這樣既能深刻理解公式，又可靈活應用於解題，課堂氣氛熱烈，學生學習積極性高.
公式的導出部分老師讓學生利用學過的正弦、餘弦和正切的和角公式，化歸為二倍角公式，讓學生理解「二倍角」 與 「兩角和」 的內在聯系.
在公式的運用應用部分，老師是這樣設計的：
提問：二倍角公式結構特徵有哪些？
師生互動：教師在黑板上板書且同時啟發學生注意公式結構中等號兩邊角度倍數的對比、系數的對比、冪次數的對比，學生思考並回答問題以達到熟練公式結構的目的.學生通過觀察比較，能很快地歸納出二倍角公式的結構特徵.為了能很好地鞏固和理解公式中「二倍角」含義，也為下面靈活應用公式化解和求值做准備，教師設置了以下練習：梯度一 （讓學生理解倍角的相對性）
在以上問題中主要突出的是倍角的相對性，以及公式左右兩邊的角的變化.為了進一步鞏固所學公式與更深入熟練地掌握公式變形，特意由淺入深設計以下課堂練習以達到相關目的.學生對比二倍角公式的形式特點，基本能准確地填出結論，並且在給出結論的同時也真正理解了「二倍」的含義.二倍角的正弦公式、餘弦公式是三角恆等變換中的重要公式，在理解和掌握公式的基礎上，若能對公式作一些變形，並在解題中予以靈活運用，則可激活思維，化繁為簡，使得解題過程更加簡潔明快.教師在學生理解梯度一的基礎上，再設計了以下兩組變式訓練：梯度二：（熟練公式結構並會用公式的逆用）
經過三個梯度的訓練，學生對公式的結構與公式的應用達到基本熟練之後，下一步就可以提供機會讓學生利用倍角公式進行求值運算、以培養學生運算、分析和邏輯推理能力，可以很好地完成本節課的教學目標之一與難點之一.
三、案例教學反思
上課班級的學生基礎相對較好，特別是男生，如果純粹是講公式後讓學生模仿做題目，學生沒有獨立思考的機會，沒有親自體驗公式和概念的形成過程，只能是做題目的機器，對知識一知半解，更不用說學以致用了.學生也會覺得沒有挑戰性，從而對數學學習缺乏積極性.學生只有在親自實踐中才能獲取新知識的能力、分析解決問題的能力，以及交流與合作的能力.老師在教學中對二倍角公式的深化變式，讓學生積極思維，既提高了學習的積極性，又加強了對公式的理解和應用.
數學的公式有很多的變式，這些變式為學生提供了廣闊的天地，同時在公式的變式過程中可以充分體現數學公式的轉化和簡化功能，從而有利於學生更深刻地理解數學公式的本質.通過探求公式的變式的應用，可以培養學生直覺思維、快速解題的能力，有利於培養學生的逆向思維、發散思維等，形成良好的思維品質.
（一）公式的變式應用可以培養學生簡單的直覺思維能力和解題能力
直覺思維是導致數學發現的關鍵，教師在教學中，鼓勵學生猜想，形成朦朧的直覺.讓學生猜想，不僅激發了他們努力解題，還教會了他們一種應用的思維方式.二倍角公式的熟練應用對於學習三角函數的性質起著很重要的作用.如學習y=sin2x的圖像及性質.再如梯度三中的練習sinπ16cosπ16cosπ8，學生看到相同的角，會聯想到正弦的二倍角公式，猜想填個系數即可，學生在掌握了二倍角公式的逆向變形特點後，就能很快的與公式進行對比，從而找到系數上的差別，並相應的進行增添，就可以很方便得出答案.（sinα-cosα）2和cos4β-sin4β的解題學生根據做題目的直覺經驗，自然會想到先用完全平方和平方差公式展開求解，教師再有意識地引導他們向縱深方向考慮，幫助理清來龍去脈，總結出方法和結論，學生的解題能力也會逐步提高.在教學過程中，有時設置一些順理成章的「陷阱」也是有益的，可以引導學生積極思維，在猜想、探究、修改的過程中加深對知識的理解和掌握.
（二）公式的變式應用可以培養學生的逆向思維能力
人們習慣於沿著事物發展的正方向去思考問題並尋求解決辦法.其實，對於某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化.數學教學中可表現為某些數學公式、法則等逆用來解決有關問題.如二倍角這節課中，很多學生對於數學課本中的公式很熟練，但對它們的逆向運用卻往往忽視.因此，老師在二倍角公式教學中，貫穿雙向思維訓練，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還注意引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展.如梯度一和梯度二的設計，這樣正向和逆向敘述相結合，使學生對公式的理解更加深刻，知識掌握得更加靈活，對數學思維的訓練也起著重要的作用.
（三）公式的變式應用可以培養學生的發散思維能力
贊可夫說過：「凡是沒有發自內心求知慾和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發掉的」.在課堂教學中應該適當給學生提供獨立思考問題、自己提問題的條件與機會為發散思維的培養創造良好的內、外部的環境.老師在教學過程給出（sinα-cosα）2 和cos4β-sin4β題目給出後，沒有直接板書講解，而是讓學生討論，給學生提供探索嘗試的機會.學生們躍躍欲試，積極動腦，一部分學生能自己利用二倍角公式和平方公式推算出結論，運用已學知識去解決新問題，並進行多種嘗試，學生的解題思維得到拓展，學習積極性提高.如果老師怕學生在課堂上聽不懂、吃不飽，總是在課堂上講個不停，即使提出問題也是匆匆而過，學生沒有進行充分思考問題的時間，這樣培養的學生也不可能具有探究性思考的習慣與能力，當然談不上培養發散思維了.
數學教學就是數學思維活動的教學.因此，在數學教學中展現思維活動，教師在課堂教學中應該精心設計，給學生充分思考問題的機會和時間，讓學生親自參與思維活動，不僅體現了這種教學思想，而且有利於提高學生的思維的探究水平，從而提高學生學習數學的興趣.

『伍』 怎樣在中學數學教學中進行變式訓練

所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。
一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。
從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。
通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。
數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。
通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。
三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。
（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。
許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。
（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。
一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。
（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。
通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。
伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。
譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。
又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。
例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。
變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒

『陸』 淺議高中數學教學中如何有效滲透變式教學

本人從事高中數學教學近十年，發現許多學生的數學思維單一，做習題的方法教條、缺乏靈活變通，而習題是訓練學生數學思維的資源，是教師將自己的思想、方法以及分析問題和解決問題的技能技巧施達於學生的載體，做好習題對學生思維能力的培養，解題能力的提高至關重要。要達到這一目的，倡導數學變式教學是一個行之有效的重要手段。如何進行課本習題的變式教學？下面談談自己的看法。
一、習題變式教學的原則
1、針對性原則
習題的教學慣穿於新授課、習題課和復習課，與新授課、習題課和復習課並存，一般情況下不單獨成課。因此，對於不同的授課，對習題的變式也應不同。例如，新授課的習題變式應服務於本節課的教學目的；習題課的習題變式應以本章節內容為主，適當滲透一些數學思想和數學方法；復習課的習題變式不但要滲透數學思想和數學方法，還要進行縱向和橫向的聯系，同時變式習題要緊扣考綱。在習題變式教學時，要根據教學目標和學生的學習現狀，切忌隨意性和盲目性。
2、可行性原則
選擇課本習題進行變式，不要「變」得過於簡單，過於簡單的變式題會讓學生認為是簡單的「重復勞動」，沒有實際效果，而且會影響學生思維的質量；難度「變」大的變式習題易挫傷學生的學習積極性，使學生難以獲得成功的喜悅，長此以往，將使學生喪失自信心，因此，在選擇課本習題進行變式時要變得有「度」，恰到好處。
3、參與性原則
在習題變式教學中，教師要讓學生主動參與，不要總是教師「變」，學生「練」。要鼓勵學生大膽地「變」，有目的、有意識地引導學生從「變」的現象中發現「不變」的本質，從「不變」的本質中探究「變」的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通，同時培養了學生的創新意識和創新精神以及舉一反三的能力。
二、習題變式教學的方法
下面以課本的一道習題為例，談談習題變式教學的方法。
原題：畫出函數 的圖象，並根據圖象說出函數 的單調區間，以及在各單調區間上函數 是增函數是減函數。（高中《數學(人教版)》必修（1）習題1.3A組第1題）
1、將習題的條件特殊化
條件特殊化是指將原題中一般條件，改為具有特定性的條件，使題目具有特殊性。將課本習題條件特殊化，引導學生挖掘條件,考察特定概念。例如，將原題改為：
變式1：畫出函數 的圖象，並根據圖象說出函數 的單調區間，以及在各單調區間上函數 是增函數是減函數。
這不僅考察了絕對值的概念,也考察了解一元二次方程，這符合由一般到特殊的認識規律，學生容易接受。
2、改變習題的背景
改變背景是指在某些條件不變的情況下，改變另一些條件的形式，使問題得到進一步深化。在教學過程中，變換習題的形式，可激發學生的探求慾望，從而提高學生的創新能力。例如，將原題改為：
變式2：：畫出函數 的圖象，並根據圖象說出函數 的單調區間，以及在各單調區間上函數 是增函數是減函數。
這樣變式不僅考察了函數的圖象，而且考察了偶函數的定義和性質；
變式3：求函數 在區間[-3，5]上的最值。
變式4、求函數 單調區間。
這樣的變式練習，學生可以畫圖得出，也可以通過數學方法得出，通過這樣的練習一定能提高學生學習數學的興趣，且能鞏固基礎知識，熟練常規解題，從而達到教學目的。
三、習題變式教學應注意的問題
1、源於課本，高於課本
在高中數學習題變式教學中，所選用的「源題」應以課本的習題為主，課本習題均是經過專家學者多次篩選後的題目的精品，我們沒有理由放棄它。在教學中我們要精心設計和挖掘課本的習題，編制一題多變、一題多解、一題多用和多題一解以提高學生靈活運用知識的能力。
2、循序漸進，有的放矢
在高中數學習題變式教學中，對習題的變式要循序漸進，有的放矢。例如，在高三復習時讓學生做完習題「一動圓M與圓 : 外切，與圓： 內切,求動圓圓心M的軌跡方程。」且點評後，可將此題目變為：
變式1、已知圓 ： 與圓 ： ,若動圓M同時與圓 和圓 相外切，則動圓圓心M的軌跡是什麼。
變式2、已知圓 ： 與圓 ： , 若動圓M同時與圓 和圓 相內切，則動圓圓心M的軌跡是什麼。
變式3、已知圓 ： 與圓 ： , 若動圓M與圓 和圓 一個內切，一個外切，則動圓圓心M的軌跡又是什麼。
變式1是對習題的模仿，目的是讓學生熟悉利用定義法求軌跡的過程；變式3的目的是讓學生進一步熟悉利用定義法求軌跡的方法，並要進行分步討論；三個變式的目的都是讓學生掌握利用圓錐曲線的定義求軌跡的方法。將常規題變為探索題，是設計變式題的又一途徑。由常規題變出來的探索題，對學生來說更具創造性和挑戰性。
3、縱向聯系,溫故知新
在高中數學習題變式教學中，對習題的變式要注意縱向聯系，要緊密聯系以前所學知識，讓學生在學習新知識的同時對舊知識也得到復習、鞏固和提高，從而提高學習效率，讓學生明白「任何事物都是相互聯系的」這一哲學道理。
例如，在學習《拋物線及其標准方程》（高中數學第二冊（上））後，可將課本P118中的例3「斜率為1的直線經過拋物線 的焦點，與拋物線相交於兩點A、B，求線段AB的長」可變為：
變式1：經過拋物線的焦點的弦與拋物線相交於兩點A、B，以線段AB為直徑的圓與拋物線的准線的關系是（ ）（A）相交；（B）相切；（C）相離；（D）沒辦法確定
變式2：求證：經過拋物線 的焦點的弦與拋物線相交於兩點A、B，以線段AB為直徑的圓與拋物線的准線相切。
變式3：經過拋物線 的焦點的弦與拋物線相交於兩點A、B，以線段AB為直徑的圓與拋物線的准線有何關系？
通過上述變式題的練習，既鞏固了拋物線的定義，又復習了圓與直線的知識，也復習了梯形的中位線定理等等，從而達到了變式練習的目的。
總之，在高中數學教學中，搞好習題教學，特別是搞好課本習題的變式教學，不僅能加深學生對基礎知識的理解和掌握，更重要的是在開發學生的智力、發展學生的思維，培養和提高學生的能力等方面，能發揮其獨特的功效。變式教學可以讓我們的學生在無窮的變化中領略數學的魅力，在曼妙的演變中體會數學的快樂。

『柒』 你認為初中數學變式的本質是什麼在變式教學中體現了哪些數學思想

素質教育是以培養具有創造性思維和創造能力的人才為目標而進行的創新教育為歸宿的教育。在課堂教學中落實素質教育，就要貫穿「學生為主體，訓練為主線，能力為主攻」的原則。現代數學課程標准指出：數學教學不僅僅要使學生獲得數學基礎知識,基本技能，更要獲得數學思想和觀念，形成良好的數學思維品質,要通過各種途徑，讓學生體會數學思考和創造的過程，增強學習的興趣和自信心,不斷提高自主學習的能力。所以加強在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇於探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處。
所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。
一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。
從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。
通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。
數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。
通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。
三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。
（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。
許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。
（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。
一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。
（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。
通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。
伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。
譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。
又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。
例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。
變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）
變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題
現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發
（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。
（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。
（3）乙先出發5秒，然後甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。
這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。
變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒後他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良後來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？
這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今後碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷於題海而不能自拔。
（三）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。
牛頓說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」中學生的想像力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。
教學中要特別重視對課本例題和習題的「改裝」或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善於對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利於知識的建構。
總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出「源於課本，高於課本」，並能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會「變題」，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

『捌』 怎麼樣在中學數學教學中進行變式訓練

所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。

一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。

從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。

通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。

數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。

通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。

三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。

（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。

許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。

（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。

（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。

通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。

伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。

譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。

又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。

例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。

變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）

變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題

現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發

（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。

（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。

（3）乙先出發5秒，然後甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。

這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。

變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒後他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良後來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？

這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今後碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷於題海而不能自拔。

（三）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。

牛頓說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」中學生的想像力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。

教學中要特別重視對課本例題和習題的「改裝」或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善於對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利於知識的建構。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出「源於課本，高於課本」，並能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會「變題」，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

『玖』 今年高考數學是尹德好出的嗎

是不是高中數學題根？
題根是什麼？
題根不是概念，不是結論，而是一個問題。問題規范化後其實就是一個題目，就像講課時的例題，課本上的習題，考卷上的考題。但它又不是一個孤立的題目，也不是一堆題中單一的個體。它是一個題族的根祖，一個題系中的根基，一個題群中的代表。抓到了一個題根，就等於抓到了這個題族，這個題群，這個題系。
《高中數學題根》一書就是在我們倆對題根及其變式教學理論數十年研究基礎上而形成的。全書以高中數學知識體系為線索，以重要的知識點作章節，分為12章，共46節，每節兩個題根，共92個。通過學習和體會，讀者可以清楚地掌握基本知識和方法，領悟數學問題的本質，從而有助於脫離「茫茫題海」。
每個題根下的欄目設置為：
【題根分析】 找出題根中的信息元，尋找變式發散點，並在對題根詳細分析過程中，總結核心知識點和經典解題方法。
【變式網路】 呈現各種變式的方向和層次。如對題根中元素的變更，條件的強化與弱化，方法的類比和歸納等等。
在線試讀部分章節

著名數學教育家張奠宙教授作序
華東師范大學的教輔讀物分社倪明社長交給我一疊書稿， 書名是《高中數學題根》。「題根」的提法，很吸引人。?者之一是過去熟悉的朋友—黃坪， 一位不甘寂寞、富有創見的數學老師。於是， 認真地看了一陣，覺得這是一本具有中國數學教育特色的教輔書。
教輔書常常被認為是應試教育的產物，因而廣受詬病。 事實上， 教輔書歷史悠久，意義非凡。 中國古代上許多儒學名家為四書五經作注，進行疏解， 其實就是為後學做教學輔導。 記得1970年代末， 上海的一套《數學自學輔導叢書》曾經洛陽紙貴，供不應求， 幫助過許多知識青年跨入大學門檻。現如今，許多重要文件時興編寫「導讀」書籍， 其功能也就是「教輔」。 因此，在我看來， 優秀的教輔書功德無量， 而粗製濫造的則害人不淺。 高質量的、有中國特色的優秀的教輔書，同樣可以為教學改革護航。
晚近的教學改革， 多半注重認識過程的前半段：創設情境、提出問題、分組探究、匯報歸納， 以至有所發現。這是從感性到理性的認識過程。但是， 眾所周知，認識過程還有理性認識的不斷加深、並用於實踐的後半段過程。這表現為練習鞏固、反思總結、欣賞體察、變式應用、以至提煉成數學思想方法。做好這後半段的教學工作， 需要扎實的數學功夫才能應對， 而不是花里胡哨的表演所能奏效的。我想，一本優秀的教輔書，可以在?後半段認識過程中發揮重要作用。
黃坪、尹德好兩位老師的《高中數學題根》，為以上所說的「後半段認識過程「提供了一個展示的。其基本思路是，尋找題根，通過變式織成題網。所謂「綱舉目張」 ， 題根就是這張網的「綱」。
國內外的許多數學教育研究家認為， 中國數學教育的重要特色之一在於數學問題的「變式」處理。顧泠沅教授是數學變式教學的倡導者。近年來，香港大學和香港中文大學就有好幾篇博士論文研究數學變式的作用。這本《高中數學題根》，則進一步總結了第一線的教學實踐的經驗，以「變式」為主導思想，系統地展開復習課教學。書里的每一支「題根」， 都會有好幾種變式形成「變式網路」，或變「背景」， 或變「對象」， 或變「規則」， 或變「條件」……， 變式之豐富前所未見，其中具有許多創新的成分。至於「題根分析」、「經典變式」、「變式訓練」等欄目， 則是為學習者提高解題能力進行了必要的指導和鋪墊， 充分發揮其「教輔」功能。可以設想，如果積以時日，尋求「題根」與變式， 也許會成為中國數學教育的一抹亮色。
寫了以上的一些感想，權作為序，也藉此希望大家都來珍視中國數學教育的點滴創造，不要老是捧著金飯碗去討飯。
目錄

序
前言
第一章集合與命題
第1節集合的概念及運算
第2節命題與充要條件
第二章基本初等函數
第1節函數與反函數的概念、定義域及值域
第2節函數的單調性、奇偶性和周期性
第3節一次函數、二次函數
第4節冪函數、指數函數及對數函數
第5節函數圖象的平移和翻折
第6節函數、方程與不等式
第7節導數在函數中的應用
第三章三角函數
第1節同角三角比的關系
作者簡介
黃 坪 上海市曹楊第二中學特級教師。在他榮譽清單里有：教育園丁、科技拔尖人才、五一勞動獎章、有突出貢獻的中青年專家等，這是對他教育奉獻的高度概括。在他的工作經歷中有：教研組長、年級主任、教科室主任、教導處主任、數學教研員、高級教師評審組組長等，這是對他教學能力的最佳注釋。他注重科研，是「中學數學思維教學」、「高中數學變式教學」課題的領銜人，有五十多篇學術論文發表。教學，對他來說，是輕車熟路，數學問題?模式及其變式在他手裡玩轉得十分自如。這本《高中數學題根》正是來自教學一線的、注重教學實際研究的極好總結。
尹德好 上海市育才中學高級教師，中國數學奧林匹克高級教練員。人如其名，行如其校。「上海市園丁獎」獲得者、靜安區高中數學學科帶頭人。讓學生「享受數學、提升智慧」是他一貫的追求，其教學成績顯著，深受學生的喜愛。他教學與科研並舉，已主持和參加國家、市、區級科研課題十多項，並在專業雜志上發表數十篇論文，參與著書5本。同時，他還參與了多項重要考試的命題工作。近年來，他致力於數學試題創作與研究，?學題的變式和變式教學是其研究的重點，從《高中數學題根》的篇章中可以一睹他的智慧與風采。