整式的乘法與因式分解教案

Ⅰ 整式的乘法和因式分解的所有重要公式還有技巧

因式分解，也叫分解因式，
因式分解，是主謂短語，
分解因式，是動賓短語，
就是把多項式，變成一個個式子相乘的形式；

如果需要示意圖，就看看漢字 「目」、「月」 和 「朋」、「用」，
「月」 和 「目」 就是長為 3，寬分別是 a、b 的兩個長方形，
寫成 3a + 3b 像 「朋」 就是一個兩項式，
如果 「月」 和 「目」 拼成一個 「用」，就是 3(a + b) 的一個長方形，
把 3a + 3b 兩項相加的式子變成 3(a+b) 乘積的式子，就是因式分解。

分解因式，也正如分解質因數，
分解質因數，是要把整數變成一個個質數的乘積，在因數中去掉合數；
分解因式，就是把整式變成一個個因式的乘積，盡量降低各個因式的次數，

具體方法，
【第一步，提取公因式】
這也是最簡單的方法，
公因式不僅有：系數、字母、單項式（這些相信我們都熟悉了），
而且，公因式還可能是一個式子，
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——這樣再提取系數 5
= 5( a + b )( m + n )

【第二步，公式法】
就是把整式乘法的公式倒過來用，
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差，
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差，
熟悉公式，熟悉平方數、立方數是關鍵，

【平方差】還有兩個完全平方相減的式子，
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

【完全平方式】應該注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或許就只有一個
( a + b )" = a" + 2ab + b"
不管是和的平方，還是差的平方，
最先也都是平方和，
a" - 2ab - b" 就錯了。

【立方和、立方差】
原來兩個三次項，分解因式變成五個項，
兩個是一次項、三個是二次項，
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )

我們看看特徵，
兩個一次項 a 和 b，正負與原來的三次項 a"' 和 b"' 一樣；
三個二次項，a" + b" 還是平方和，中間項 ab 就要與一次項相反。
或者，
看分解因式的五個項，
立方和，只有二次項 ab 為負，其餘全都是正；
立方差，除了一次項 b 為負，其餘全都是正。

想一想，
二次項 ab，如果立方和換成 +ab，立方差換成 -ab，
再變成 2 不就成了完全立方嗎？怎麼是立方和、立方差呢？
( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'
( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'
這樣看來，立方和是 -ab，立方差是 +ab，就是要加大與完全立方的差別啊！

為了熟悉公式，我們也應該取簡單的數字算一算，
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我們都知道，分解因式是這五個項，
相對困難就是正負符號，不知怎樣確定，
這樣只要算一算，就能夠幫助自己確定符號了。

【第三步，二次三項式分解】
我建議，十字相乘法，結合分組分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把單項式 mx = (a+b)x ，拆開變成 ax + bx ，
就能夠分組提公因式進行分解。

【】關鍵是看常數項的正負，決定一次項怎樣一分為二，
如果常數項是正數，一次項的絕對值，就是拆開兩個項的和；
如果常數項是負數，一次項的絕對值，就是拆開兩個項的差。

前面已經說過，完全平方，b" 必然都是 +b"，
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24，分解因式 4 種情況都有，

【】如果常數項是正數，
一次項拆開兩個項的絕對值，就都比原來小；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )

常數項 +24 不變，一次項 ±10x 就都是拆開 4x 與 6x 的和，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

【】如果常數項是負數，
一次項的絕對值，就是拆開兩個項的相差數；
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

常數項 -24 不變，一次項 ±10x 就都是拆開 12x 與 2x 的相差數，
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )

這樣我們也就發現，
【】為什麼看常數項的正負，決定一次項怎樣一分為二呢？這是因為：
常數項不變，只是一次項變成相反數，一次項一分為二的絕對值就不變；
一次項不變，只要常數項變成相反數，一次項就要改變一分為二的方式；

像這樣的二次三項式，還有
x" ± 5x ± 6，
x" ± 10x ± 24，
x" ± 15x ± 54，
x" ± 20x ± 96，
x" ± 25x ± 150，
……
其實，它們都是 x" ± 5xy ± 6y" ，
這個式子千變萬化，還有
6x" ± 5x ± 1，
6x" ± 10x ± 4，
6x" ± 15x ± 9，
6x" ± 20x ± 16，
6x" ± 25x ± 25，
……
這樣的式子還不只一個，還有
8x" ± 26x ± 15，
8x" ± 52x ± 60，
8x" ± 78x ± 135，
8x" ± 104x ± 240，
8x" ± 130x ± 375，
……
其實，這樣也都是 8x" ± 26xy ± 15y" ，
這個千變萬化的式子，同樣還有
15x" ± 26x ± 8，
15x" ± 52x ± 32，
15x" ± 78x ± 72，
15x" ± 104x ± 128，
15x" ± 130x ± 200，
……
它們包括了多種具體情況，
讓我們也都取值做一做，
感受一下其中的奧秘吧。

【】二次三項式，分解因式，
這樣也是技巧、竅門，
關鍵就看 c 與 a 的正負，
只要熟悉這個方法，
x" + bx + c，
ax" + bx + c，
ax" + bxy + cy"，
我們都同樣做得方便。

【復雜的多項式，配方法】
如果上面這些方式方法都不熟悉，
或者二次三項式看起來復雜，不知所措，
還可以使用配方法，
我們還是看看 x" - 10x - 24 ，

x" - 10x - 24
首先配方，把二次項和一次項，變成完全平方，
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式，用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

【分解之後，還要檢驗】
確保分解徹底，因式分解變形正確，
例如 x^6 - y^6，應該
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相當於 64 - 1，
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差，做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就還有 21 不是質因數，分解不徹底，也就不正確了。

正如現在的平方差，有兩個完全平方式相減，
現在要求分解的式子都比較復雜，要想還原就不方便了，
各種類型的式子，我們就都要熟悉兩三種解答方式，
看看不同的方式方法是不是同一個結果，
這樣才能夠相互檢驗，確保解答正確。

如果要看技巧、訣竅，我還發布了網路經驗
http://jingyan..com/article/11c17a2c749061f446e39d9a.html
http://jingyan..com/article/8275fc86baa46346a13cf651.html
希望你看過也有用，對你也有所幫助。

Ⅱ 整式的乘法和因式分解有何區別和聯系

因式分解是數字之間的關系(合數和質數)
整式的乘法是式子之間,可以含有字母

Ⅲ 第14章整式的乘法與因式分解專項測試題一，答案

稍後

Ⅳ 整式的乘法與因式分解教案有幾課時

教學目標
1．單項式、單項式的定義．
2．多項式、多項式的次數．
3、理解整式概念．
教學重點
單項式及多項式的有關概念．
教學難點
單項式及多項式的有關概念．

Ⅳ 第14章整式的乘法與因式分解專項測試題三

供參考