❶ 關於比例，分數的教案
分式的加減法
教學目標：
(1)理解通分的意義，理解最簡公分母的意義；
(2)掌握分式的通分法則，能熟練掌握通分運算。
教學重點：分式通分的理解和掌握。
教學難點：分式通分中最簡公分母的確定。
教學工具：投影儀
教學方法：啟發式、討論式
教學過程：
（一）引入
（1）如何計算：
由此讓學生復習分數通分的意義、通分的根據、通分的法則以及最簡公分母的概念。
（2）如何計算：
（3）何計算：
引導學生思考，猜想如何求解？
(二)新課
1、類比分數的通分得到分式的通分：
把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
注意：通分保證（1）各分式與原分式相等；（2）各分式分母相等。
2．通分的依據：分式的基本性質．
3．通分的關鍵：確定幾個分式的最簡公分母．
通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作最簡公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．
根據分式通分和最簡公分母的定義，將分式 ， ， 通分：
最簡公分母為： ，然後根據分式的基本性質，分別對原來的各分式的分子和分母乘一個適當的整式，使各分式的分母都化為 。通分如下：
通過本例使學生對於分式的通分大致過程和思路有所了解。讓學生歸納通分的思路過程。
例1 通分：
（1） ， ， ；
分析：讓學生找分式的公分母，可設問「分母的系數各不相同如何解決？」，依據分數的通分找最小公倍數。
解：∵ 最簡公分母是12xy2，
小結：各分母的系數都是整數時，通常取它們的系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數．
解：∵最簡公分母是10a2b2c2，
由學生歸納最簡公分母的思路。
分式通分中求最簡公分母概括為：（1）取各分母系數的最小公倍數；（2）凡出現的字母為底的冪的因式都要取；（3）相同字母的冪的因式取指數最大的。取這些因式的積就是最簡公分母。
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通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母，其步驟如下：
1.分別列出各分母的約數；
2.將各分母約數連乘，若有公約數只乘一次，所得結果即為個分母最小公倍數；
3.凡出現的字母或含有字母的因式為底的冪的因式都要取；
4.相同字母或含字母的因式的冪的因式取指數最大的；
5.將上述取得的式子都乘起來，就得到了最簡公分母；
通分的步驟
1. 先求出原來幾個分數（式）的分母的最簡公分母；
2. 根據分數（式）的基本性質，把原來分數（式）化成以最簡公分母為分母的分數（式）。
通分的依據
通分和約分的依據都是分數（式）的基本性質：
分數（式）的分子、分母同乘以或除以一個不等於零的數（式），分數（式）的大小不變。分母不變，對方的分子分母交叉相乘
通分例題講解
①通分： 1/3 和 1/4
解：3和4的最小公倍數為12
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
則通分結果為 4/12 和 3/12
②比較 7/9 和 8/11 的大小
解：7/9 = 7×11 / 9×11 = 77/99
8/11 = 8×9 / 11×9 = 72/99
∵77/99>72/99
∴7/9>8/11
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教學目的
1．使學生理解分式的意義。
2． 會求使分式有意義的條件。
教學分析
重點：分式的意義及其基本性質。
難點：分式的變號法則。
教學過程
一、復習
1、引言：我們已經學過了整式，知道可用整式表示某些數量關系；學習了整式四則運算，在此基礎上學習了一元一次方程的解法和列方程解應用題，但是有些數量關系，只用整式表示是不夠的。。
2、例題：甲、乙兩人做某種機器零件。已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等。求甲、乙每小時各做多少個？。
3、分析：設甲每小時做x個零件，那麼乙每小時做（x-6）個。甲做90個所用的時間是90÷x（或 ）小時，乙做60個的用的時間是［60÷（x-6）］（或 ）小時，根據題意列方程
=
可以看出 、 都不是整式。列出的方程也不是已學過的方程。學習本章內容就可以正確認識這樣的式子及方程，從而解決問題。
二、新授
1．分式
在算術里，兩個數相除可以表示用分數的形式。分數中的分子相當於被除數，分數中的分母相當於除數。因為零不能做除數，所以分數中的分母不能是零。
在代數里，整式的除法也有類似的表示。如前面的例題中，（90÷x）小時可表示成 小時，［60÷（x-6）］小時可表示成 小時。
又如n公頃麥田共收小麥m噸，平均每公頃產量（m÷n）噸，可用式子 噸表示。
再如輪船的靜水速度為a千米/小時。水流速度為b千米/小時，輪船在逆流中航行s千米所需時間［s÷（a-b）］小時，可用式子 小時表示。
、 、 、
的分母中都含有字母。
一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B可以表示成 的形式。如果B中含有字母，式子 叫做分式。基中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。可見，上列各式都是分式。
由分式的意義可以知道：
（1）分式是兩個整式的商。其中分子是被除式，分母是除式。在這里分數線可理解為除號，還含有括弧的作用。
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必須含字母。式子 、 、 都不是分式，因為它們的分母都沒有字母。
（3）在分式里，分母代數式的值隨式中字字母取值的不同而變化。字母所取的值有可能使分母為零。因為分式的分母相當於整式除法的除式，所以分母如果是零，則分式沒有意義。因此在分式中，分母的值不能是零，例如在 里，x≠0；在 里，a≠b。
例1 當x取什麼值時，下列分式有意義？
（1） ； （2） 。
解：（1）由x-2≠0得x≠2，即當x≠2時，分式 有意義。
（2）由4x+1≠0得x≠ 時，分式 有意義。
例2：當x是什麼數時，分式 的值是零？
解：由分子x+2=0，得x=-2。而當x=-2時，分母2x-5=-4-5≠0，
所以當x=-2時，分式 的值是零。
問題：（1）分式的值為零就是分式沒有意義嗎？
（2）只要分子的值是零，分式的值就是零嗎？以 為例回答此題。
三、練習
練習： P60中練習1，2，3，4。
四、小結
1、本課學習了什麼是分式。
2、本課還學習了使分式有意義的條件及使分式為0的未知數值的求法。
3、要特別注意分式中作為分母的代數式的值不得為零的教學。在分數里，分數的分母是一個具體的數，是否為零一目瞭然；而在分式里，要明確其是否有意義，就必須分析，討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的代數式的值為零。
五、作業
1、P61習題9.1 A組1~4。
2、綜合練習：同步練習。
第2課9.2分式的基本性質（1）
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教學目的
1．使學生理解分式的意義，會求使分式有意義的條件。
2．使學生掌握分式的基本性質並能用它將分式變形。
教學分析
重點：分式的意義及其基本性質。
難點：分式的變號法則。
教學過程
一、復習
1、什麼是分式？
2、使分式有意義要有什麼條件？
二、新授
分式的基本性質
我們知道，分數基本性質是：分數的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等於零的數，分數的值不變。
分數的基本性質是約分、通分和化簡繁分數的理論根據。
分式也有類似的性質，就是分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等於零的整式，分式的值不變。這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：
其中M是不等於零的整式。
分式的基本性質是分式變號法則。通分，約分及化簡繁分式的理論依據。就是說，分式的基本性質是分式恆等變形的理論依據。
例1 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？
（1） ； （2） .
解：（1）∵c≠0， ∵x≠0，
∴ ， ∴ .
例2 填空：
（1） ； （2） .
解：（1）∵a≠0，
∴ ，即填a2+ab。
（2）∵x≠0，
∴ ，即填x。
注意：
（1）根據分式的意義，分數線代表除號，又起括弧的作用。
（2）添括弧法則：當括弧前添「+」號，括弧內各項的符號不變；當括弧前添「—」號，括弧內各項都變號。
課時安排：本課題約需3課時，分配如下：
三、練習 練習：P63中練習1，2。
四、小結 本節學習了分式的基本性質。
五、作業 作業：P66中習題9.2 A組1，2。
另：需要注意的問題
1．從回憶算術里分數的基本性質再用類比的方法得出分式的基本性質：
.
從形式上看，分數的基本性質和分式的基本性質同乎是一樣的，學生接受起來不會有什麼困難，但是要學生真正理解和掌握，還需要進行更深入的分析和各種基本的訓練。
首先應引導學生認識到分式的基本性質中的A、B、M表示整式。隨著知識的擴充，A、B、M還可代表任何代數式。
其次要強調M≠0。在算術中講到分數基本性質時，雖然也強調M≠0，但實際上不可能用零去乘（或除）分數的分子與分母，所以這個條件常常被子忽略了，而在代數中，M是一個含字母的代數式。由於字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。因此，當我們應用這個性質時，都應考查M這個代數式的值是否為零，養成隨時注意是在怎樣的條件下應用這個性質的習慣。
第3課9.2分式的基本性質（2）
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教學目的
1．使學生理解分式的意義，會求使分式有意義的條件。
2．使學生掌握分式的基本性質並能用它將分式變形。
教學分析
重點：分式的意義及其基本性質。
難點：分式的變號法則。
教學過程
一、復習
1、分式有意義的條件是什麼？
2、分式的基本性質是什麼？
二、新授
例3 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的系數都化為整數。
（1） ； （2） .
解：（1） .
（2） .
例4 不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含「—」號：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） .
（2） .
（3） .
注意：根據分式的意義和基本性質可以歸納得：分子的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式值不變。
例5 不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數是正數：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） .
（2） .
（3） .
注意：（1）根據分式的意義，分數線代表除號，又起括弧的作用。
（2）添括弧法則：當括弧前添「+」號，括弧內各項的符號不變；當括弧前添「—」號，括弧內各項都變號。
三、練習
練習：P65中練習1，2，3。
四、小結
1、復習分式的意義及其基本性質。
2、分式的變號方法。
五、作業
作業：P66中習題9.3 A組3，4，5。
另：需要注意的問題
1．分式的變號規律是由兩條法則概括而成的。第一條：分子和分母同時改變符號，分式的值不變。這一條是根據分式的基本性質推導出來的。第二條：只改變分子（分母）的符號，分式本身的符號也要改變，分式的值才不變。這一條用分式的基本性質是推導不出來的。根據分式的意義，分式表示兩個整式相除，所以教科書寫道：有理數除法的符號法則「同號得正，異號得負」，在分式（兩式相除）中同樣適用。
分式的變號規律在分式變形中經常用到，學生對此又極容易出現錯誤，所以要給予足夠的重視。
第4課 9.3分式的乘除法（1約分）
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教學目標
1．使學生明確分式的約分概念和理論依據，掌握約分方法；
2．通過與分數的約分作比較，學習分式的約分，滲透「類比」的思想方法．
教學重點和難點
重點：分式約分的方法．
難點：分式約分時分式的分子或分母中的因式的符號變化．
教學過程設計
一、導入新課
問：下面的等式中右式是怎樣從左式得到的？這種變換的理論根據是什麼？
答：(1)式中的左邊分式的分子與分母都除以2a2b2，得到右式，這里a≠0，b≠0．(2)式中的左邊分式的分子與分母都除以(x+y)，得到右式，這里(x+y)≠0．這種變換的根據是分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等於零的整式，分式的值不變．
本性質．
問：什麼是分數的約分？約分的方法是什麼？約分的目的是什麼？
答：把一個分數化為與它相等，但是分子、分母都比較小的分數，這種運算叫做約分．對於一個分數進行約分的方法是：把分子、分母都除以它們的公約數(1除外)．約分的目的是把一個分數化為既約分數．分式的約分和分數的約分類似，下面討論分式的約分．
二、新課
我們觀察：
(1)中左式變為右式，是把左式中的分子與分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子與分母的公因式．
(2)中左式變為右式，是把左式中的分子與分母都除以它們的公因式(x+y)而得到的．
像(1)，(2)中分式的運算就是分式的約分．即把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
一個分式的分子與分母沒有公因式時，這個分式叫做最簡分式．
把一個分式進行約分的目的，是使這個分式變為最簡分式．
為了把上述分式約分，應該先確定分式的分子與分母的公因式，那麼分式的分子與分母的公因式是什麼？
答：因為分式的分子與分母都是單項式，取分子、分母中相同因式的最低次冪和分子、分母的系數的最大公約數，把它們的積作為這個分式的分子與分母的公因式．
指出：分子或分母的系數是負數時，一般先把負號移到分式本身的前邊．這就同時改變了分式本身與分子或分母的符號，所以分式的值不變．
例2 約分：
分析：(1)，(2)的分子、分母都是多項式，並且都能分解因式，可以先分解因式，再分別確定分子與分母的公因式．
請同學說出解題思路．
答：分式的分子、分母都是多項式，可以先分別因式分解，約分，把分式化為最簡分式，再求值．
當x=45時，
請同學概括分式約分的步驟．
答：
1．如果分式的分子、分母是單項式，約去分子、分母的系數的最大公約數和相同因式的最低次冪．
2．如果分式的分子與分母都是多項式時，可先把分子、分母分解因式，然後約去分子與分母的公因式．
3．當分式的分子或分母的系數是負數時，應先把負號提到分式的前邊．
請同學思考一個問題：將分式約分時，約去分式中的分子與分母的公因式，為什麼分式的值不變？
答：因為所給的分式都是有意義的，也就是說，分母的值不等於零．而分式的分子與分母的公因式一定是分式的分母的一個因式，根據分式的基本性質，約分後分式的值不變．
三、課堂練習
1．約分：
2．指出下列分式運算中的錯誤，並把它改正．
四、小結
把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式．
如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式．如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分．
分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如
x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．
五、作業
1．約分：
2．約分：
3．先約分，再求值：
課堂教學設計說明
1．分式的約分和分數的約分有很多類似之處，在導入分式約分時，先充分復習分數約分的概念、方法、目的，引導學生用類比的方法學習分式的約分，從中促使學生發現新舊知識間的聯系與發展，讓學生在類比、概括中主動獲取知識．通過討論例題，引導學生概括分式約分的步驟．
2．學生在學習分式的約分時，不僅應掌握約分的方法，還應理解運算的算理．要求學生能知其然，也得知其所以然．教學設計中提出了一些問題，啟發學生思考、回答．如提出「分式約分時，約去分式中的分子與分母的公因式，為什麼分式的值不變？」，從而使學生進一步明確分式約分的理論依據是分式的基本性質．
3．在課堂練習題的設計中，把學生在學習分式約分中常出現的錯誤展現在他們面前，引導學生獨立思考、互相討論、共同分析，辨別正確與錯誤，在真理和謬誤中比較、鑒別是與非，以培養學生的批判性思維．
第5課9.3 分式的乘除法（2）
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教學目的
1、使學生正確掌握分式的乘除法的法則。
2、能熟練地運用分式的乘除法的法則進行計算。
教學分析
重點：分式的乘除法的法則是本節的教學重點。
難點：分子或分母為多項式的分式的乘除法是本節教學的難點。
教學過程
一、復習
1、復習提問：
(1)什麼叫做分式的約分？約分的根據是什麼？(可叫一位學生回答．)
(2)用投影儀(或小黑板)出示以下題目：
下列各式是否正確？為什麼？。
先讓學生觀察思考，最後老師作結論．
2、用類比的方法總結出分式的乘除法的法則。
由分數的基本性質類比地得到分式的基本性質，由分數的約分類比地得到分式的約分．由分數乘除法的法則同樣可類比地得到分式的乘除法的法則．現在我們來學習分式的乘除法．(板書課題)
讓學生回憶並回答什麼是「分數的乘除法的法則」；用投影儀(或小黑板)出示分數的乘除法的法則，然後啟發學生，用類比的方法敘述出分式的乘除法的法則．。
二、新授
用投影儀或小黑板出示分式的乘除法法則：
分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；
分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置後與被除式相乘．
用式子表示即是：
例1 計算
分析(1)題並引導學生解答：
①(1)題是幾個分式進行什麼運算？
②每個分式的分子和分母都是什麼代數式？
③運用分式乘除法法則得到的積的分子、分母各是什麼？
④積的符號是什麼？
⑤怎樣應用分式的約分法則使積化成最簡分式或單項式？
隨手板書解題過程：
分析(2)題並引導學生自解：
①(2)題兩個分式進行什麼運算？
②每個分式的分子、分母各是什麼代數式？
③怎樣應用分式的除法法則把分式的除法運算變成分式的乘法運算？
以下可由學生寫出運算結果：
(用投影儀或小黑板出示以下小結內容)
小結：分子和分母都是單項式的分式乘除法的解題步驟是：
①含有分式除法運算時，先用分式除法法則把分式除法運算變成分式乘法運算；
②再用分式乘法法則得出積的分式；
③用分式符號法則確定積的符號；
④用分式約分法則使積化成最簡分式或整式(一般為單項式)．
三、練習
課堂練習1：
計算：
分析、引導學生
①本題是幾個分式在進行什麼運算？
②每個分式的分子和分母都是什麼代數式？
③在分式的分子、分母中的多項式是否可以分解因式，怎樣分解？(a2-4)=(a+2)(a-2)，a2-4a+3=(a-1)(a-3)，a2+3a+2=(a+1)(a+2)．
④怎樣應用分式乘法法則得到積的分式？
⑤怎樣應用分式約分法則使積化成最簡分式或整式(一般為多項式)？
隨手板書解題過程．
課堂練習2：
計算：
小結：分子或分母是多項式的分式乘除法的解題步驟是：
①將原分式中含同一字母的各多項式按降冪(或升冪)排列；在乘除過程中遇到整式則視其為分母為1，分子為這個整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多項式分解因式；
③應用分式乘除法法則進行運算得到積的分式；
④應用分式約分法則使積化成最簡分式或整式．
先分析：本題是分子或分母為多項式的分式乘除法混合運算，運算過程從左至右依次進行；因此，分式乘除法法則也適用於兩個以上的分式相乘除．然後讓學生自己做，教師巡視，並找出得出正、反兩個結果的學生上台板書，讓大家判斷正誤．
四、小結
(1)讓兩個學生分別用語言敘述和式子表示分式乘除法法則．
(2)課堂驗收題：在餘下的時間內讓學生獨立完成以下題目，下課時全收上來，批閱打分，以便檢查課堂效果．(題目可用小黑板出示)．
❹ 怎麼寫通分的教案啊
《通分》教學設計
孝感市開發區三利小學 湯進兵
教學內容：通分，比較分數的大小 教學目標：
知識目標：理解和掌握通分的概念，掌握通分的方法，並能正確地把兩個異分母分數進行通分。
能力目標：學生通過小組討論找到解決問題的方法，實現知識再創造的過程，理解通分的意義，掌握通分的方法，培養共同合作能力。 情感目標：通過創設的問題情境，使學生產生興趣，自覺主動地參與小組活動，感受學習數學的樂趣。
教學重點：理解通分的意義，能熟練靈活地掌握求兩個數最小公倍數的方法。
教學難點：通分在解決實際問題中的應用。 教學過程： 一、復習導入：
1、求出下面各組數的最小公倍數。
6和9 15和5 8和9 3、6和8 2、填空。
53 624824
1/6
問：你是怎樣想的，依據是什麼？ 什麼是分數的基本性質？ 3、比較下面各組分數的大小。
34547755○ ○ ○ ○ 131399101268
問：你是如何比較的？同分母分數怎樣比較？同分子分數呢？ 二、創設問題情境：
最近我們學校準備要把整個校園圍牆美化起來，學校希望美化圍牆面積的，而設計人員認為可以美化圍牆面積的。哪一種方案美化的面積大？你們能不能幫助老師解決這個問題？， 三、探求新知：
5
6
34
1、提出問題：要求哪一種方案美化的面積大，實際就是比較哪兩個數的大小？
讓學生先獨立思考，有了想法後小組討論交流，全班匯報： （1）可以轉化成同分母分數進行比較
552103339 6621244312
10953因為>，所以>
121264
問：根據什麼？
你為什麼以12為公分母？12在這里是什麼數？選其它數為公分母，如24，行嗎？
讓學生在下面分組討論，各自說一說自己的想法，使學生明白:可以用兩個分母的公倍數作公分母，其中用兩個分母的最小公倍數作公分母，數字最簡單。
2/6
（2）可以轉化成同分子分數進行比較
3351555315
4452066318
151553因為>，所以>。
182064
（3）可以通過畫圖直接看出來
從圖中可以很明顯地看出：>。
（4）可以用單位「1」分別減去分數比較剩餘
516653
從而得出>。
64
56
34
因為1，1，從中可得出比1小，而比1小，
341456163414
2、剛才大家說的第（1）方法是根據分數基本性質將異分母分數轉化成和原來相等的同分母的分數，然後再比較大小。其實，這就是今天我們要共同研究的內容。（板書課題：通分） 3、揭示通分概念
（1）先說明：人們在比較分數大小時，一般化成同分母分數進行比較，這樣比較方便。 （2）問：什麼是通分？
板書：把異分母分數化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。 （3
）讓學生齊讀，並說一說對這句話的理解、休會。 ①「和原來分數相等」很重要。 ②「同分母」就是通分的目的和結果。
3/6
（4）問：通分的方法是怎樣的？為什麼要求最小公倍數？公倍數不行嗎？
四、鞏固應用：
1、先把下面每組中的兩個分數通分，再比較它們的大小。
572374和 和 和 6978189
2、在美麗的大森林裡，住著一大群可愛的小動物，它們在開春季運動會。小猴、小鹿和小兔參加了長跑比賽。結果小猴用了小時，小鹿用了小時，小兔用了小時，裁判員小豬說小兔獲得了冠軍。同學們想一想，小豬說得對嗎？
問：要知道誰獲得了冠軍，該如何求？ 讓學生小組討論，自己得出：
誰用的時間最少誰就獲得冠軍，也就是比較這三個分數誰最小？該如何比較呢？
讓學生在下面分組討論，集體匯報： （1） 逐步通分。
72267672
，所以
9339999375714515141575再比和，因為，所以。
96918618181896
275
從而得出：，小豬說得不對,是小鹿獲得了冠軍。
396
79
2356
先比和，，因為
（2）一步通分。
以9、3、6的最小公倍數18作為公分母來通分。
714212515 918318618
121415275因為，所以。
181818396
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問：上面兩種通分方法，哪種方法比較簡便些？ 五、考一考你：
剛才同學們覺得非常棒，也解決了不少問題，這時小精靈給我們提出了一個難題，想考考我們，大家有沒有信心解決？
你能寫出一個比大，又比小的分數嗎？你是怎樣找到這個分數的？還能再找到幾個嗎？
讓學生在下面分組討論，每組派一名代表發言。
51020161224．．．．．． ．．．．．． 30601205306012011112123
所以大於小於的分數有、、．．．．．．
656012012012341234
（2）．．．．．．． ．．．．．．
61218245101520
11233444
所以大於小於的分數有、、、、、．．．．．．
65111622172123
11
由此可得出大於小於的分數有無數個。
65
16
15
（1）
16
五、課堂小結：
本節課你學到了什麼新知識？你覺得在通分過程中應注意些什麼？
板書設計 通分
把異分母分數化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。
3351555315
4452066318
151553因為>，所以>。
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