拓撲學教案3

① 為什麼經濟學專業要學拓撲學

什麼是拓撲學？

拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學里，重要的拓撲性質包括連通性與緊致性。

對於經管類專業來說，學好拓撲學經濟學是必要的，考研專業課絕大部分學校經濟類學碩拓撲學都是必考科目，有些學校還考察政治經濟學，比如人大。拓撲學經濟學能提供些基本的分析經濟問題的思想，比如均衡分析法等思想，金融市場基本的套利思想就與此有很大關系……

總而言之，作為經濟類專業的學生，拓撲學是必須學好的

經濟學又有助於我們懂得人生，建立良好的人生觀，處理好和周圍人群的關系，懂得個人的社會責任。學好經濟學不但自己享受人生，同時也能幫助別人享受人生；懂得怎樣賺錢，怎樣花錢，要做錢的主人，不做錢的奴隸。

② 一般拓撲學基礎 張德學 練習3.2 第5題 求答案！

（雖然沒有提及，但實際我是在考慮X-U）

注意到，如果A是緊集，那麼A-U作為A的閉子集（在X的拓撲下）也是緊集。假如一些A的交集在U里，那這些(A-U)的交集就是空集。

我想證明：如果一些緊集的交集是空集，那麼其中有限個緊集的交集是空集。這個必須要對，原結論才對。否則的話，如果這個不對，那麼取U為空集，原結論就不對了。這里我需要X是Hausdorff的（否則的話反例在下面會舉出來）。

假如X是Hausdorff的（或者至少其中某一個緊集繼承X的拓撲之後，所得到的拓撲是Hausdorff的），證明上一段的結論。不妨假設全集就是其中的一個緊集，否則把所有集合都和其中某一個緊集交一下，不影響結論的正確性。這樣緊集就都是閉集了，而全集是一個緊集。把上一段那個要證的結論取一下補，就變成，如果一些緊集（也就是閉集）的補集的並是全集，那麼其中有限個補集的並是全集，這就是在說全集是個緊集。這樣就證明了上一段的結論。由此可以推出原題的結論，這是很顯然的。

假如X不是Hausdorff的，可以舉出反例。讓X是一個無窮集，X上的拓撲是余有限拓撲（有限集是閉集，全集是閉集，其餘都不是閉集）。這樣X的任何一個子集（包括X自身）都是緊集（不難證），考慮所有的余有限的集合（就是它們在X中的補集是有限集），這些集合已經知道都是緊集，它們的交是空集，就把U取成空集。這時候這些余有限的緊集里，任何有限個緊集的交都不是空集U。

③ 拓撲學：三筆畫出一個圖形

啊呀~來那麼簡單，居然畫不出來，自樓上的還說的得一套一套的，很明顯是只會讀死書死讀書的人，我剛剛幫朋友解答了~ 方法就是先把紙張圍在一個圓柱體上並首尾相連，當你畫到死胡同時剛好可以到對面接著畫，如果還有想不通的呢，你的智商也太讓我無言了~

④ 拓撲學問題，S^2 * R表示三維圓柱面

S^2 * R 不是柱面，是有厚度的球殼（不過是開的），那個R可以想像成厚度，這個東西大概和R^3 - {point} 是同回胚的；答

T^2 * R 是有厚度的輪胎面；
S^1 * R^2 是一個實心的鐲子，那一圈是S^1，截面（那個圓面，把外面的邊去掉）是R^2；
S^2 * S^1不是R^3的子拓撲空間。S^2 * S^1是緊的，但R^3的緊子集是有界閉集，R^3的三維有界閉集肯定有邊界，但S^2 * S^1沒有邊界。

⑤ 特徵不變數為3的拓撲幾何圖形

??你的問題很模糊，拓撲學中涉及的特徵不變數很多，就是拓撲不變數，你指的是哪個？？

⑥ 基礎拓撲學的圖書目錄

第1章 引論
1.1 Euler定理
1.2 拓撲等價
1.3 曲面
1.4 抽象空間
1.5 一個分類定理
1.6 拓撲不變數
第2章 連續性
2.1 開集與閉集
2.2 連續映射
2.3 充滿空間的曲線
2.4 Tietze擴張定理
第3章 緊致性與連通性
3.1 En的有界閉集
3.2 Heine?Borel定理
3.3 緊致空間的性質
3.4 乘積空間
3.5 連通性
3.6 道路連通性
第4章 粘合空間
4.1 Mbius帶的製作
4.2 粘合拓撲
4.3 拓撲群
4.4 軌道空間
第5章 基本群
5.1 同倫映射
5.2 構造基本群
5.3 計算
5.4 同倫型
5.5 Brouwer不動點定理
5.6 平面的分離
5.7 曲面的邊界
第6章 單純剖分
6.1 空間的單純剖分
6.2 重心重分
6.3 單純逼近
6.4 復形的棱道群
6.5 軌道空間的單純剖分
6.6 無窮復形
第7章 曲面
7.1 分類
7.2 單純剖分與定向
7.3 Euler示性數
7.4 剜補運算
7.5 曲面符號
第8章 單純同調
8.1 閉鏈與邊緣
8.2 同調群
8.3 例子
8.4 單純映射
8.5 輻式重分
8.6 不變性
第9章 映射度與Lefschetz數
9.1 球面的連續映射
9.2 Euler?Poincaré公式
9.3 Borsuk?Ulam定理
9.4 Lefschetz不動點定理
9.5 維數
第10章 紐結與覆疊空間
10.1 紐結的例子
10.2 紐結群
10.3 Seifert 曲面
10.4 覆疊空間
10.5 Alexander多項式
附錄 生成元與關系
參考文獻
……

⑦ 各位拓撲學大佬，這個對不對😁

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。

⑧ 拓撲學問題

不是說能保證T中的成員是開集。現在是，我們還不知道什麼是開集，我們需要通過以前的一些經驗，看看以前知道的開集都有一些什麼特徵，然後用這些特徵，到我們未知的地方去定義那裡的開集。

原先，我們在歐幾里德空間，是有開集的。那時候，全集和空集都是開集（就是你所述的條件1），任意多個開集的並集還是開集（條件2），任何兩個開集，或者說有限多個（是一樣的）開集，它們的並仍然是開集（條件3）。在更一般的空間里，就可能沒有「距離」的概念的（沒有度量），但是只要有些集合放在一起滿足以上的3個特徵，仍然可以把它們稱為開集。我們實際中對開集的應用，很多時候也無非就是用到了上面3個性質而已。

當然，歐幾里德空間中的開集還有其他的性質。有很多，比如，歐幾里德空間里任選兩個不同的點x和y，都有包含x的一個開集和包含y的一個開集，使得這兩個開集不相交。這個性質在拓撲里，你可能已經知道，叫做第二分離公理（T2公理），滿足這個公理的拓撲空間叫Hausdorff空間。還有很多其他可能有的性質。但按我們通常的定義，我們不要求一個拓撲空間必須滿足這些（除了你所述的3個條件以外的）要求，因為人們發現有些空間很有研究的意義，而不具備那些額外的性質。還是比如剛才所說的T2公理，那是大部分拓撲空間都應該具備的性質（至少本科拓撲課里很少觸及真有意義的非Hausdorff空間），但仍然有一些很有意義的空間（比如，層）不滿足這個T2公理。除了T2公理這個性質以外，還有很多很多可能的性質，拓撲課上會講不少。允許一個拓撲空間不具有那些性質，會允許很多比較「變態」的拓撲存在（比如一個叫「余可數拓撲」的東西，它規定，X是某個無限集，空集規定為開集，任何有限集的補集，當然也就包括空集的補集，規定為開集，除此之外都不算開集，這個拓撲似乎完全是為了舉反例用的，沒什麼其他用處或者意義），但是會把很多和歐幾里德拓撲很不一樣的東西的共性納入進來（比如可以討論連續函數），節省很多的重復工作、簡化語言，這些對之後能簡潔的描述其他東西都很有幫助，所以有人說，點集拓撲是一種比較基礎的語言。