① 與奇偶性有關問題要善於從哪些角度思考
從整體角度進行數學教學的幾點思考
高中數學知識體系及其結構已經形成一個較為完整的系統，從高中數學教材改革的指導思想及其重點，便可看出在數學教學中應注重以問題引導數學知識產生的背景、過程、歷史、思想及文化，最終落實到數學知識的應用這一重要環節。為此，在數學教學中教師要培養學生從數學的基本思想、基本方法、基本概念的理解與認識，以及對數學的基本態度等方面來形成對數學的總體認識，進而使學生對數學形成整體的認知結構。
要讓學生對數學有一個整體的認知結構，提高學生數學能力、創新意識、理性精神並著眼於學生的終身發展，教師也就應該從系統和整體的角度來開展數學教學，以下筆者就此結合教學實踐談幾點思考。
一、從整體的角度在數學知識形成過程中尋找聯系
如果教師能夠從整體數學知識的角度考慮，用聯系的眼光來看問題，就會發現在數學基礎知識的形成過程中往往隱含著豐富的教育價值，這正是培養學生的數學觀念、提升學生的數學素質、形成學生數學整體認知結構的一條重要途徑。
比如，高中數學新課標教材中「函數奇偶性定義」是這樣呈現：先由學生熟悉的日常生活中對稱現象與兩個分別關於原點和y軸對稱的函數圖象引出函數奇偶性概念，再將它們的圖象特徵轉化成代數特徵f(－x)=f(x)與f(－x)=－f(x)，從而得到函數奇偶性的定義。這樣體現了化「未知」為「已知」、化「形」為「數」和形數結合的數學思想方法，也符合學生由熟悉到陌生、由特殊到一般、由直觀到抽象的認知規律。
針對這一過程我們還可以從整體的角度進行深入的思考，進一步從如何激發學生的認知需求提出這樣的問題：為什麼要研究函數的奇偶性？為什麼要學習函數奇偶性的定義？如何體現高中數學新課標倡導的自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式？因此，教師可以在日常生活中的對稱現象的基礎上，讓學生觀察他們熟悉的正比例函數f(x)=kx(k≠0)、反比例函數f(x)=(x≠0)、缺一次項的二次函數f(x)=ax+c(a≠0)的圖象，學生會發現這些函數的圖象具有關於原點對稱或關於y軸對稱共同的特徵。教師進而提出問題：具有這種對稱性的函數圖象有什麼優點？（以激發學生思考的興趣）由此引導學生分析討論可以得到：這些函數圖象不僅具有形態對稱的美，而且知道它在原點或y軸的一側的圖象就可以畫出它另一側的圖象。
在介紹了函數奇偶性圖象特徵後，教師可以先讓學生判斷以下一些函數的奇偶性：①f(x)=x，x∈[0，+∞)；②f(x)=x；③f(x)=x+2x+；④f(x)=.對於①的函數圖象，學生容易作答；對於②的函數圖象，學生利用描點法也不難畫出圖象後作答；對於③、④的函數圖象，學生會感到難以畫出。由此可以說明利用函數的圖象特徵判斷函數的奇偶性有其局限性，即使有的函數圖象能夠畫出，但還會存在准確性和視覺的可靠性等問題。由此可以使學生產生認知沖突，從而激發學生在「形」轉化為「數」、直觀轉化為抽象、感性轉化為理性等認知方面的需求，這樣進一步去探討函數奇偶性定義就更符合學生學習的心理需求。
通過上述過程可以把函數相關的新舊知識有機地聯系起來，一方面激發了學生認知需求，另一方面強化了學生對函數奇偶性的直觀認識，同時為函數奇偶性定義形成作了鋪墊，從而使學生能夠自然地掌握用圖象法和定義法來判斷函數的奇偶性。這樣一來就可以從整體的角度揭示和研究函數的奇偶性，也能夠使學生對函數的奇偶性形成一個完整的認知結構。
二、從整體的角度在數學解題教學中尋找聯系
從廣義的數學知識角度來看，數學的思想方法是在一定范圍內具有普遍性、隱性的知識，是數學知識的精髓和靈魂，是學生形成良好數學認知結構的紐帶，是知識形成能力的關鍵。教師在數學解題教學中，要注重其中所蘊含的數學思想方法，在探討數學題型及其解法過程中引導學生從整體的角度尋求數學知識間的聯系，從而通過解題教學使學生形成良好的數學認知結構，提高數學能力。
例如，已知函數y=+的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A. B. C. D.
在解此題的教學中，若教師僅直接講述其解法一為：先將函數式兩邊平方，得到y=4+(-3≤x≤1)後轉化為求二次函數在給定區間上的最值；解法二為：由-3≤x≤1得0≤x+3≤4，設x+3=4cosβ(β∈[0，90 ])，轉化為求三角函數的最值；解法三為：令u=，v=，則u+v=4(u≥0， v≥0)，u+v=y，再用解析法求最值。這樣似乎問題很容易就被解決了，但學生的反應仍是很茫然，感到困惑的地方是老師怎麼會想到這樣做。為了避免出現這種現象，教師在解題教學中要重視引導學生在數學知識與數學思想方法之間，從整體的角度探討其聯系，揭示數學知識的本質，使學生的數學認知結構得到優化與完善。
為此，教師要進一步揭示上述解題過程中所體現出的化無理式為有理式、化未知為已知的這種數學化歸思想和數形結合思想，使學生領悟解法的本質所在。同時教師還可以從整體的角度，用聯系的眼光看問題，引導學生對上述問題進一步探究。比如，可以啟發學生聯想到藉助函數的導數，從而得出函數的單調性來求最值；如果僅是求此函數的最大值，還可以啟發學生藉助柯西不等式等。教師還可以進一步提出以下變式問題讓學生思考：（1）、如果把函數改為y=+或y=+時，如何求解呢？（可直接利用其單調性求解）；（2）、如果把函數改為y=1-x+或y=x+1+時，如何求解呢？（前者可設t=≥0，轉化為關於t的二次函數；後者可直接利用其單調性求解）等等，這樣便可以把求一次無理函數的最值的方法有機地聯系成一個整體。
三、從整體的角度在數學探究過程中尋找聯系
高中數學新課改倡導培養學生的探究意識和理性精神，為此在數學教學中，教師可以引導學生對數學學習中感到困惑的問題進行探究。在探究過程中，教師可以指導學生從整體的角度去注意尋找知識間的聯系，這樣可以豐富學生的認知結構，為形成新的知識網路創造條件。
比如，高中數學中隨機變數的方差概念是初中數學中一組數據的方差概念的拓展，是刻畫隨機變數（一組數據）與數學期望（一組數據的平均數）離散程度的量。在此教學中，可以讓學生探究為什麼將一組數據x，x，…，x 的方差定義為而不是呢？其探究思路可以如下：設f(x)= ，當x==時，f(x)= ；又設g(x)= ，可以證明當①n為奇數時，x為數據x，x，…，x的中位數，②當n為偶數時，x時，都有g(x)取最小值。所以，用來刻畫數據x，x，…，x與平均數的離散程度最佳，用來刻畫數據x，x，…，x與其中位數x的離散程度最佳。在探究過程中，教師可以適當的把數學史上著名的最小二乘法與最小一乘法這一統計學背景給學生介紹一下，以豐富學生的數學知識和提高探究的興趣。
探究之後，可以讓學生完成以下練習：（1）、函數f(x)=最小值為（ ） A.190 B.171 C.90 D.45
（2）、在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到x，x，…，x共n個數據。我們規定的所測物理量的「最佳近似值」x是這樣一個量：與其它近似值比較，與各數據差的平方和最小，以此規定，從x，x，…，x推出x=_______。
學生在上述探究的基礎上，就能把看似沒有關聯的知識有機地聯系起來，很容易得到：（1）題中x=10(1，2，…，19的中位數)時，f(x)=90；（2）題中x=（x+x+…+x）（即數據x，x，…，x的平均數）。
通過上述探究過程，從整體的角度角度聯系了函數最值知識與誤差理論，深化了學生對方差概念的理解，拓寬了學生的視野，培養學生的理性精神，使學生學會用聯系的眼光看問題，從整體的角度認識數學概念。這樣學生對數學知識的理解便是深刻的，通過知識的正遷移獲得數學知識本質上的東西。
四、從整體的角度在數學與數學外部之間尋找聯系
曾有數學教育家認為，數學與其外部的聯系對學生來說是更自然和更重要的。數學與其外部的聯系是極為廣泛的，主要包括數學與其它學科間的聯系和數學與現實生活間的聯系。高中數學新課程也倡導要加強數學與其它學科及生活實際的溝通和聯系，使學生從中體會數學的價值和作用。
在數學教學過程中，教師可以從整體的角度指導學生學會用數學的思維方式去思考、解決生活實際中的問題，同時能夠用生活實際中的現象來詮釋數學問題，讓學生體會到數學知識與現實生活的相同性，由此培養學生的聯想意識和習慣，培養學生的創新意識和創造能力。
比如，在進行高中數學概率教學時，可以從整體的角度在概率知識與生活實際之間尋找聯系，創設問題情境，從而這樣引入新課：
教師：在經濟比較發達和文明程度較高的某些大城市的街頭，經常有人在擺攤算卦，前來問卦的人有普通百姓，也有知識分子。請同學們想一想是什麼原因？
學生：眾說紛紜。
教師：我認為是它滿足了人們對預測未來的一種心理渴求，盡管許多人明知問卦是不科學的。
教師：我們還經常會聽到人們常說某件事發生的可能性較大，那麼我們就會想這種事件發生的可能性到底有多大？如何來體現和刻畫這種可能性呢？
學生：如何能夠用具體數字來反映和刻事件發生可能性的大小就好了，因為數據能夠很好的說明問題。
教師：人們通常習慣用數字來說明問題，也就是對問題進行定量分析，但可能會有較大的難度。但有一種數學知識就可以用數字特徵來科學地體現這種可能性大小，那就是概率。
通過這樣引導學生思考，培養學生形成在數學與其它學科間、在數學與現實生活間進行聯系思考的意識，並形成一種自然的習慣。
總之，在教學過程中要盡可能地從整體的角度出發去思考教學設計，讓學生從整體的角度去認識和學習數學，而不要孤立地看待數學知識，人為地把數學知識割裂開來。從整體的高度來看待和認識數學，使學生把數學知識有機地聯系起來，讓學生的數學認知結構不斷趨於完善，從而提高學生的數學能力和素質。
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