❶ 數學中的一些定理在實際生活中哪些地方用到了，應該如何查，比如平面與平面垂直的性質
可以 拿實物比劃啊 什麼都可以的 比方說兩支筆 可以作異面直線 相交直線
還有牆角——空間坐標 面面垂直
❷ 求高二數學教案
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『高中數學教案』高中數學優秀課參賽教案 函數的最大值和最小值
·3.8 函數的最大值和最小值（第1課時） 人教版全日制普通高級中學教科書數學第三冊（選修Ⅱ）【教材分析】 1．本節教材的地位與作用本節主要研究閉區間上的連續函數......
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『高中數學教案』北師大版高中數學必修1教案 集合的概念及其表示
·1.1-2集合的概念及其表示（二）教學目標：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，滲透抽象、概括思想。教學重點：集合的表示方法教學難點：正確表示一些簡單集合課......
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『高中數學教案』北師大版•數學•必修一•期末復習教學..
·北師大版•數學•必修一•期末復習教學一體案二次函數專題復習目標 1、掌握二次函數的開口方向、開口大小與系數關系，會求二次函數表達式；拿......
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『高中數學教案』人教版高一數學必修教案 集合
·§1.1 集合 人教版高一數學必修 A版 集合1.1 【教材分析】：集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎，一方面，許多重要的數學分支......
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『高中數學教案』人教版（必修）數學第二冊(上)活動教案橢圓及其標准方..
·課題：橢圓及其標准方程教材：人教版（必修）數學第二冊(上)第八章第一節授課教師：李季一、教學目標： 1．知識與技能目標：（1）掌握橢圓定義和標准方程。 ......
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『高中數學教案』新課程高中數學優秀教學設計與案例（共131頁）
·新課程高中數學優秀教學設計與案例高中數學優秀教學設計與案例 10.直線與平面平行的性質1.教學目的 (1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經......
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『高中數學教案』高中數學教案 必修2 1.1空間幾何體的結構
·一 教學目標 1．通過觀察實物、圖片，使學生理解並能歸納出柱、錐、台、球的結構特徵； 2．讓學生自己觀察，通過直觀感加強理解； 3．培養學生善於通過觀察實物形狀到歸納其性質的......
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『高中數學教案』高三數學公開課教案 直線與圓錐曲線的位置關系
·課題：直線與圓錐曲線的位置關系(一) [目標導引]： 1． 能夠運用數形結合的方法，迅速判斷某些直線與圓錐曲線的位置關系； 2． 能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關系的問題轉化......
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『高中數學教案』高二數學公開課教案 拋物線標准方程
·一、教學目標： 1.掌握拋物線的定義、拋物線的標准方程及其推導過程． 2.進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等方面的能力．二、教學重、難點： ......
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『高中數學教案』高中數學教案 常用邏輯用語(約8課時)
·選修2-1 常用邏輯用語(約8課時) 一,知識要求及變化 1,整體定位根據課程標準的設計思路,對每一部分都有一個整體定位.為了更好的把握常用邏輯用語的要求,首先需要明確......
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『高中數學教案』中等職業教材數學基礎版第二冊《橢圓的性質》教學設計..
·教材:高等教育出版社中等職業教育國家規劃教材數學基礎版第二冊. 【教學目標】知識目標: (1).使學生掌握橢圓的性質,能根據性質正確地作出橢圓草圖;掌握橢圓中 a,b,c......
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『高中數學教案』高等教育出版社數學基礎版第二冊4單元教案
·【課題】二面角 (高等教育出版社《數學基礎版第二冊》§9.9第一課時) 【課時】一課時(45分鍾) 【設計理念】學習是一個知識遷移,轉化,創新的過程,因此,實現教學的有效性......
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『高中數學教案』中等職業數學基礎版第一冊
·一,教材:中等職業教育國家規劃教材數學基礎版第一冊(語文出版社) 二,地位和作用:本章教材是在學生學過初中數學的基礎上,引入集合的概念,研究集合與集合之間的關系及基本運算的.教材......
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『高中數學教案』高一基礎版《數學》集合的運算 教學設計
·學習者分析本小節的學習對象是高一學生,其思維特點可以歸納為以下幾點:(1)假設—演繹思維,即不僅在邏輯上考慮現實的情境,而且根據可能的情境進行思維;(2)抽象思維,即能運用符號......
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『高中數學教案』直線方程的點斜式、斜截式教案
·直線方程的點斜式、斜截式教案 教學目標 1．通過教學，學生能掌握直線方程的兩種表現形式，即點斜式、斜截式． 2．通過教學，提倡學生用舊知識解決新問題；尊重從特......
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『高中數學教案』高中數學指數函數觀摩課教案
·素質教育目標指數知識教學點函數的概念,性指和圖象. 利用指數函數的性質解決問題. 能力訓練點學習如何建立數學與實際問題的應用關系. 注意觀察數學的實際應用效果,培......
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『高中數學教案』高一(上)全期教案（約70課時）.rar
·高一(上)全期教案（約70課時）.rar
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『高中數學教案』高一數學教案（上）-人教版[全套].rar
·高一數學教案（上）-人教版[全套].rar
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『高中數學教案』高二數學上學期數學教案集G.rar
·高二數學上學期數學教案集G.rar
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『高中數學教案』高中數學第三冊(選修Ⅰ)第一章 統計的認識和教學建議
·一,高中數學新教增加"統計"這一內容的背景 1,初中新課程中安排了四個學習領域:"數與代數","空間與圖形","統計與概率","實踐與綜合應用".強調數學活動應發展學生的數感,符......
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『高中數學教案』高中數學第三冊第二章第一節教案
·三節(50分X3 =150分) 學習本單元的預備知識兩直線與兩平面關於平行,垂直,相交的定義. 多面體關於頂點,稜,面的定義. 能力指標學生分析學生程度:大部分學......
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『高中數學教案』高中數學課本第三冊
·單元目標能導出二元一次方程組的公式解. 能計算二階行列式的值. 能了解二階行列式的性質,並應用其性質求值. 能了解克拉瑪公式,並利用二階行列式來判別二元一次方程組之解的情......
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『高中數學教案』高中數學第三冊第二章第一節教案
·學習本單元的預備知識兩直線與兩平面關於平行,垂直,相交的定義. 多面體關於頂點,稜,面的定義. 能力指標學生分析學生程度:大部分學生為中等程度. 學習態度: 1......
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『高中數學教案』高一數學上冊教案充分條件與必要條件
·課 題:1.8 充分條件與必要條件教學目的:知識目標:使學生初步掌握充要條件 能力目標:(1)重視基礎知識的教學,基本技能的訓練和能力的培養; (2)啟發學生能夠發現......
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『高中數學教案』高一數學教案
·第一章全部教案教學目標初步理解集合的概念,知道常用數集及其記法; 初步了解"屬於"關系的意義; 初步了解有限集,無限集,空集的意義,理解運用列舉法與描述法. 教學重點......
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『高中數學教案』高一數學教案一元二次不等式的解法
·§1.5.1一元二次不等式的解法(第一課時) 【教學目標】掌握一元二次不等式的解法. 通過對一元二次不等式的解法的學習,使學生了解"函數與方程","數形結合"及"等價轉換"......
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『高中數學教案』高一數學教案函數的定義域
·課 題:2.3 函數的定義域,值域教學目的:知識目標:(1)理解函數定義域的概念,值域的概念 (2)掌握函數的定義域,值域的求法 能力目標:(1)重視基礎知識的教學,基本......
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『高中數學教案』高一數學教案圓的方程
·課 題:§7.6圓的方程(公開課) 課 型:新授課教學目標: 知識與技能目標: 使學生掌握圓的各種方程的特點,掌握求圓的切線方程的方法,能運用圓的方程解決一些簡單的實際問......
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『高中數學教案』高一數學教案第一章 集合與簡易邏輯
·課 題:1.1集合-集合的概念(1) 教學目的:(1)使學生初步理解集合的概念,知道常用數集的概念及記法; (2)使學生初步了解"屬於"關系的意義; (3)使學生初步了解有限......
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『高中數學教案』高一新課程數學必修教案
·高一新課程數學必修(Ⅲ)教案演算法小結復習教學目的:總結演算法解題的一般思路,即演算法分析(提煉問題的數學本質)——畫出程序框圖——按框圖編寫偽代碼;通過本章學習增強解題的規范性......
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❸ 高中數學教案人教版
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人教版高三數學教案選[高中數學教案]
教學章節：數學歸納法2教學章節：數學歸納法應用4教學章節：充要條件6教學章節：橢圓的定義11教學章節：橢圓及其標准方程14教學章節：橢圓及其標准方程17教學章節：橢圓的簡單幾何性質20教學章節：橢圓的幾何性質23教學章節：橢圓及其標准方程27教學章節：橢圓及其標准方程30
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2008-06-25 14:04:08 《弧度制》教案 高一數學教案[高中數學教案]
高一年級數學教學教案課題：1.1.2弧度制教學目標知識技能：1.明確引入弧度制的必要性,理解弧度制的意義;2.能進行角度制與弧度制的換算,熟記特殊角的弧度數;3.理解角的集合與實數集之間建立的一一對應關系;4.理解弧度制下的弧長公式,扇形面積公式，以此解決有關的問題.過程與方法：通過類比，形數結合的方法引導學生對新概念的生成;新知識結構的納入。情感態度價值觀...
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2008-06-10 12:16:42 北師大版數學必修1期末復習教案 二次函數專題[高中數學教案]
北師大版數學必修一期末復習教學一體案二次函數專題復習目標1、掌握二次函數的開口方向、開口大小與系數關系，會求二次函數表達式；拿根據表達式研究單調性、最大值與最小值；2、掌握函數圖形平移規律，能根據平移研究表達式關系；3、會求二次函數在閉區間上的最大值與最小值；4、能把應用問題轉化為數學中的二次函數來處理.基礎知識回顧1、掌握二次函數=的基本性質：⑴圖象是拋物...
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2008-06-02 16:44:34 《不等式的解法舉例》教案 第二課時[高中數學教案]
6.4不等式的解法舉例（第二課時）教學目標：1、掌握分式不等式向整式不等式的轉化；2、進一步熟悉並掌握數軸標根法；3、掌握分式不等式基本解法.教學重點：分式不等式解法教學難點：分式不等式向整式不等式的轉化教學方法：啟發引導式教具准備：三角板、多媒體教學過程：Ⅰ.復習回顧：上一節，我們學習了含有絕對值的不等式的基本解法，現在作一回顧。（學生回答）我們還了解了數...
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2008-06-02 16:42:43 《高次不等式與分式不等式》教案[高中數學教案]
高一數學教案：高次不等式與分式不等式教學目標：能熟練地運用標根法解分式不等式和高次不等式教學重點： 分式不等式和高次不等式的解法教學過程：一、分式不等式與高次不等式例一 解不等式略解一（分析法）或.....
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2008-06-02 16:41:49 不等式解法舉例（一）[高中數學教案]
高二數學教案：不等式解法舉例（一）教學目標（一）知識與技能目標1.分式不等式的解法.2.簡單的高次不等式的解法.（二）過程與能力目標1.能熟練地將分式不等式轉化為整式不等式（組），正確地求出分式不等式的解集.2.會用列表法，進一步用數軸標根法求解分式及高次不等式.（三）情感與態度目標1.進一步提高學生的運算能力和思維能力.2.培養學生分析問題解決問題的能力....
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2008-06-02 16:32:25 《不等式解法舉例》教案[高中數學教案]
課題 6.4不等式解法舉例教案教學目標（一）教學知識點1、不等式轉化成一次不等式組來求解.2、不等式組求解.3、不等式在數軸上的表示.（二）能力訓練要求1、通過問題求解滲透等價轉化的思想，提高運算能力.2、通過問題求解滲透分類討論思想，提高邏輯思維能力.（三）德育滲透目標通過問題求解過程，滲透..教學重點不等式求解.教學難點將已知不等式等價轉化成合理變形式子...
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2008-05-28 12:51:13 《對數函數性質應用》教案[高中數學教案]
高一數學教案：2.8.3對數函數性質應用教學目標1．掌握對數函數單調性2．掌握比較同底數對數大小的方法3．培養學生數學應用意識教學重點函數單調性、奇偶性的證明通法教學難點對數運算性質、對數函數性質的應用教學方法引導式教具准備投影片1張（單調性、奇偶性證法）教學過程（I）復習回顧師：上一節，我要求大家預習函數單調性、奇偶性的證明方法，現在，我們進行一下回顧。1...
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2008-05-28 12:42:23 《對數函數及其性質》教案[高中數學教案]
高一數學教案：2.2.2對數函數及其性質教案教學目標1．通過教學，使學生理解對數函數的概念。2．會畫對數函數的圖象，掌握對數函數的性質。3．通過比較、對照指數函數學習對數函數的方法，使學生更好地掌握兩個函數的定義、圖象及性質，認識兩個函數的內在聯系，提高學生對函數思想方法的認識和應用意識。4．通過例題，使學生掌握利用函數的性質，比較兩個數的大小的方法，從而加...
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2008-05-28 12:41:11 「對數函數」教案[高中數學教案]
高一代數對數函數教案教學目標1、使學生掌握對數函數的定義，會畫對數函數的圖象，掌握對數函數的性質。2、通過對數函數與指數函數互為反函數的教學，學生進一步加深對反函數概念及函數和反函數圖象間的關系的認識與理解。3、通過比較、對照的方法，學生更好地掌握兩個函數的定義、圖象及性質，認識兩個函數的內在聯系，提高學生對函數思想方法的認識和應用意識。教學重點與難點教學重...
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2008-05-28 12:39:00 《對數函數的概念》教案[高中數學教案]
《§5.1對數函數的概念》教案教學目標：1．通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系。2．通過對指數函數的研究，利用對數的概念，初步理解y=log2x是一個對數函數。3．把函數y=㏒2x推廣到y=㏒ax(a>0,a≠1),初步了解對數函數的概念。體會對數函數是一類重要的函數模型。4．通過對函數x=log2y與y=log2x的圖像關系的研究，探索對數...
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2008-05-28 12:38:15 對數函數及其性質教案[高中數學教案]
《對數函數及其性質》教案教學目標：1、掌握對數函數的概念。2、根據函數圖象探索並理解對數函數的性質。過程與方法：1、通過對對數函數的學習，滲透數形結合的思想。2、能夠用類比的觀點看問題，體會知識間的有機聯系、情感態度與價值觀：1、培養學生觀察、分析能力，從特殊到一般的歸納能力。2、培養學生的合作交流、共同探究的良好品質。教學重點：對數函數的定義、圖象和性質教...
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2008-05-28 12:24:44 《對數函數與指數函數的導數》教案[高中數學教案]
科目數學課題§3.5對數函數與指數函數的導數教材分析重點應用公式求簡單的初等函數的導數難點公式的正確應用疑點涉及復合函數的求導問題時，如何進行分解教學目標知識目標熟記的導數公式，並能求簡單的初等函數的導數能力目標培養學生的運算能力，分析和解決問題的能力情感目標1．德育滲透點：能用辨證的觀點去認識規律刑的抽象的公式2．美育滲透點：公式的簡潔、抽象、應用的廣泛靈...
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2008-05-22 16:27:28 《函數y=sin(ωx+j)的圖象》教案[高中數學教案]
高一數學教案：課題4.9函數y=sin(ωx+j)的圖象第2課時授課班級高一（3）(4)班時間3月28日教學目標知識目標1.掌握如何由y=sin(x+j)的圖象得到函數y=sin(wx+j)(w>0且w≠1)的圖象。2.掌握如何由函數y=sin(wx)(w>0且w≠1)的圖象得到函數y=sin(wx+j)的圖象。能力目標1.掌握由y=sinx，的圖象，通過圖...
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2008-03-12 10:45:51 高三數學教案 第一章第三節[高中數學教案]
高三數學教案 抽樣方法（一）―簡單隨機抽樣教案抽樣方法（二）―分層抽樣教案總體分布的估計教案總體期望值的估計教案總體方差（標准差）的估計教案抽樣方法（一）―簡單隨機抽樣教學目的：1.理解簡單隨機抽樣的概念． ⒉會用簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數表法)從總體中抽取樣本教學重點：簡單隨機抽樣的概念．抽簽法、隨機數表法教學難點：進行簡單隨機抽樣時，「每...
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2008-03-12 10:21:41 高三數學教案 均值不等式的應用[高中數學教案]
高三數學教案課題：均值不等式的應用（1課時）考試要求：掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單應用．教學目標：1．使學生進一步掌握算術平均數與幾何平均數的相關知識，能利用均值定理解決相關問題；2．通過對均值不等式的應用的研究，滲透「轉化」的數學思想，提高學生運算能力和邏輯推理能力．3．在學習和解決問題的過程中，幫助學生養...
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2008-03-12 10:18:49 高一函數的單調性教案[高中數學教案]
課題函數的單調性總課時3第1課時知識目標理解函數的單調性概念掌握判斷函數單調性的方法能力目標函數的單調性的方法教學重難點函數的單調性的概念和判斷一、情境問題1、情境：第2.1.1節開頭的第三個問題中，θ=f(x)。2、問題：說出氣溫在那些時段是升高的，怎樣用數學語言刻畫「隨時間的增大氣溫逐步升高」這一特徵。
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2008-03-12 09:54:16 高二數學教案 簡單的線性規劃教案[高中數學教案]
教學課題7.4簡單的線性規劃教學目的掌握線性規劃問題的圖解法，並能應用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題。教學重點培養學生畫圖能力和解決實際問題的能力。教學難點如何把實際問題轉化為線性規劃問題，並給出解答。主要教法教學工具投影儀膠片教學過程：一導入：1復習提問：線性規劃問題相關的概念。2求解線性規劃問題的一般步驟。
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2008-03-12 09:41:31 高二數學教案 兩條直線的位置關系[高中數學教案]
教學課題7.3兩條直線的位置關系教案教學目的⑴掌握兩條直線的平行與垂直的條件⑵能根據已知條件（平行或垂直）求直線方程。教學重點兩條直線的平行與垂直的條件教學難點對兩條直線的平行與垂直的充要條件的理解主要教法自學輔導法教學工具投影儀膠片教學過程：一導入1復習提問：直線方程的幾種標准形式。2提出問題：在初中幾何里，我們研究過平面內兩條直線相互平行與垂直的位置關系...
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2008-03-12 09:18:26 高一數學教案 函數的單調性[高中數學教案]
高中數學教案課題：函數的單調性教案課型新授課課時1課時教學目標知識目標理解增函數、減函數的概念；能力目標1.掌握判斷和證明某些函數增、減性的方法；2.培養學生觀察、比較、分析的能力；3.增強數形結合的意識與能力；德育目標熟悉從感性認識到理性認識，從具體到
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『高中數學教案』等比數列的前n項和
·等比數列的前n項和【教學目標】1、掌握等比差數列的前n項和公式及其推導方法 2、能靈活運用等比差數列的前n項和公式 3、進一步培養歸納和猜想的能力【教學重點】等比差數列......
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『高中數學教案』高中數學優秀課參賽教案 函數的最大值和最小值
·3.8 函數的最大值和最小值（第1課時） 人教版全日制普通高級中學教科書數學第三冊（選修Ⅱ）【教材分析】 1．本節教材的地位與作用本節主要研究閉區間上的連續函數......
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『高中數學教案』北師大版高中數學必修1教案 集合的概念及其表示
·1.1-2集合的概念及其表示（二）教學目標：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，滲透抽象、概括思想。教學重點：集合的表示方法教學難點：正確表示一些簡單集合課......
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『高中數學教案』北師大版•數學•必修一•期末復習教學..
·北師大版•數學•必修一•期末復習教學一體案二次函數專題復習目標 1、掌握二次函數的開口方向、開口大小與系數關系，會求二次函數表達式；拿......
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『高中數學教案』人教版高一數學必修教案 集合
·§1.1 集合 人教版高一數學必修 A版 集合1.1 【教材分析】：集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎，一方面，許多重要的數學分支......
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教學目標
1．使學生理解並掌握三垂線定理及其三垂線定理的逆定理；
2．通過對三垂線定理的探求過程，進一步滲透立體幾何證明中的轉化思想．具體體現在線線與線面垂直的辯證關繫上；
3．能初步掌握三垂線定理與三垂線定理逆定理的應用．注意培養學生對變異形式下三垂線定理的應用能力．進一步提高學生的空間想像能力．
教學重點和難點
1．三垂線定理的引入與證明，在教學過程中發展學生的探索能力；
2．變異位置下三垂線定理的應用．
教學設計過程
師：請同學回憶空間中的兩條直線具有什麼樣的位置關系？
（思維從問題開始，點明這節課是研究空間兩直線位置關系的繼續）
生：相交、平行或異面．
師：對．我們可把上述三種情況表述為
其中空間兩條直線平行，這種特殊位置關系我們已經研究過了．兩條直線相交與異面的另一特殊位置關系——空間兩直線互相垂直，值得作深入的研究．而相交兩直線的垂直問題，我們已經在平面幾何中作過系統的研究，現在我們重點研究異面直線互相垂直的情況．
（進一步點明研究空間直線和直線的垂直問題）
我們的問題是：如何判定兩條異面直線的垂直位置關系呢？
生：根據兩條異面直線互相垂直的定義來判定．即如果兩條異面直線所成的角為90°，則稱這兩條異面直線互相垂直．
師：回答得很好．實際上是根據兩條異面直線所成的角為直角來判定的．這是由兩條異面直線垂直的定義來判定，即定義法．但這樣歸結為定義判定往往在操作上不是很簡便，在今後的證明中運用也不太方便，能不能換一個角度考慮呢？有沒有判定兩條異面直線垂直的比較簡便的方法呢？
（進一步調動學生思維，拋開定義去探求新的判定方法）
生：可利用直線和平面垂直的性質定理來判定．即如果一條直線垂直於一個平面，那麼它就和這個平面內的任何一條直線垂直，而平面內存在無數多條直線與該垂線異面，這樣就可以判定了．
師：很好！同學們已經掌握了證明線線垂直的基本思維方法．要證線線垂直，只需證線面垂直．
（為三垂線定理的證明埋下伏筆！）
如圖1，若l⊥α，a α，則l⊥a．
但這里l⊥α，情況太特殊了，如果l與a斜交呢？即l為平面α的斜線，能不能判定平面內的直線a與直線l垂直呢？
畫出圖2，a α，l∩α＝O，（l α）．這時你又如何判定a與l是否垂直呢？
（提出問題，請學生思考）
師：進一步啟發（分析圖2）根據線面垂直的定義，我們知道
如果直線a能垂直於過直線l的一個平面，那麼a⊥l．
於是，新問題是：如何找出這樣一個平面——過l且與a垂直的平面呢？我們知道，滿足條件的這樣一個平面必須有兩條相交直線（l當然不在其內）都與直線a垂直，能不能先解決一部分，即先作出一條與l相交的直線又與a垂直呢？
（啟而不發，由學生思考）
生：過l上一點P（異於點O），作PA⊥α於A，則由線面垂直的性質有a⊥PA．
師：很好！在圖3中，作出PA⊥α於A（此時不連結AO），並板書
由PA∩PO＝P，確定平面PAO，要使a⊥l，只需a⊥平面PAO．故只要有平面PAO內的另一條直線與a垂直就行了！而平面PAO內的哪一條線用起來最方便呢？
板書上述思路
生：老師您應畫出AO．
師：對！提得很好！兩個平面相交要畫出交線（用紅筆作出直線AO．（如圖4）
生：顯然應填寫a⊥AO．
（水到渠成，這就是本課的核心所在）
師：非常好．這已經是一個完美的思維近路了．
師：我們共同探求到一條重要定理．請試敘述這條定理，可按思維通路的脈絡，用自己的語言表述．
生：一條直線如果和這個平面的一條斜線在平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直．
師：對嗎？請同學看是否正確？
生：不對，首先應刻畫「在平面內」的一條直線．
師：對！這非常重要（板書三垂線定理）．試分析定理中的關鍵詞語，並用符號語言表述．
如圖4，PA⊥α於A，PO∩α＝O，AO是PO在平面α上的射影．a α，若a⊥AO，則a⊥PO．
請寫出條件和結論．（板書）
已知：PA⊥α於A，PO∩α＝O，（這里已隱含AO為斜線PO在平面α上的射影）a α，a⊥AO．
求證：a⊥PO．
（請學生完成證明過程．事實上通過前面的探求過程等於已把這條定理證明了．只要請學生到黑板板演，並訂正即可）
證明：
師：你能給這條定理起個名字嗎？
生甲：我從條件中發現有兩個垂直關系．我給他起名叫「兩垂線定理」．
（生鬨笑）
師：好！如果是你第一個發現這條定理的，可能今天就叫兩垂線定理了．結論中還有一個重要垂直呢？
生乙：最好叫三垂線定理吧！
師：好！這就是立體幾何中重要的三垂線定理．它是證明空間線線垂直的重要定理．
兩位同學總結了這三個垂直，哪個垂直是關鍵呢？顯然平面α的垂線PA是關鍵！我們如何記憶這條定理呢？
生甲：平面內一直線只要與射影垂直，則與斜線垂直．
生乙：我記憶為先有平面內垂直，再轉化到空間的垂直關系．
師：很好！兩位同學的記憶方法各有千秋，可按自己的習慣給予記憶．實際上兩位同學的本質是一樣的，還應強調PA⊥α於A的前提條件和a α內的關鍵詞語．
要深刻理解該定理的證明思路，證明中主要體現了什麼數學思想？
生：轉化的思想，即要證線線垂直，只要轉化為證線面垂直，就可以了．
師：請同學探求一下平面內的直線a就這一條嗎？
生：不止一條，因為在平面α內，只要與a平行的直線，就一定和射影垂直，則它必定和斜線垂直，這樣的直線是一組平行直線．
師：演示一組抽拉投影片．如圖5，只需將動片（含直線a的抽拉片）左、右抽動，即可顯示這一組平行直線．當且僅當a通過O點時a與PO是共面垂直，而其餘的都是異面垂直關系．
（圖中框片1為固定不動，片2可以抽拉，a畫在2上，左、右抽拉可顯示a的運動過程為一組平行直線）
師：你能構造三垂線定理的逆命題嗎？判斷它是真命題嗎？並證明．
（前面在三垂線定理的探求過程中，已把它的大前提、小前提及結論分析清楚，故在這里學生可比較順利地構造出它的逆命題）
生：只要把三垂線定理中的小前提a⊥AO，與結論中的a⊥PO互換一下就可以了．
（師把板書中的條件a⊥AO與結論a⊥OP互換）
是真命題嗎？
生：是！與三垂線定理的證明思路一樣．
例1 如圖6，PA垂直於以AB為直徑的圓O平面，C為圓O上任一點（異於A，B）．試判斷圖中共有幾個直角三角形，並說明理由．
（這是立體幾何中一個重要圖形．既有線面垂直問題，又有線線垂直，既有三垂線定理的應用，又有平面幾何知識的運用）
生甲：兩個．分別是Rt△PAC，Rt△PAB．
生乙：三個．還應有Rt△PCB．
師：誰是直角？理由是什麼．
生乙：∠PCB，由三垂線定理可證．
師：你能敘述一下嗎？根據三垂線定理的操作程序敘述清楚．
生乙：因為PA⊥⊙O平面，PC∩⊙O面＝C，因為∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥PC．
師：生乙證明中，什麼地方還應再強調一下．
生丙：BC 平面⊙O．
師：除這三個直角三角形外，還有嗎？
生：還應有一個Rt△ABC，因為直徑上的圓周角為直角．
師：好！這樣才全面認識了這個空間圖形．事實上圖形P-ABC是一個三棱錐．原來三棱錐的四個面可以都是直角三角形，請同學思考：你能再構造一個三棱錐，使它的四個面全是直角三角形嗎？（課下繼續思考）
師：通過例1，作出判斷的關鍵是什麼？
生：平面的垂線PA是關鍵，有它就能保證前三個Rt△．
例2 如圖7，PA⊥矩形ABCD所在的平面，且AB＝3，AD＝4，PA＝3，求點P到CD，AB和BD的距離．
（此例的關鍵是用三垂線定理．作出它們的距離，再化歸為解Rt△的問題．可能有如下典型錯誤）
1．學生往往還是應用直角三角板，用平面幾何方法過P作PH⊥CD於H，使∠PHC＝90°，如圖8．通過此例進一步說明用概念指導作圖的重要性．進一步闡述空間圖形中保平行不保角的規律，經啟發學生可發現只要連結PD，由三垂線定理可保證PD⊥CD於D，於是PD就是點P到直線CD的距離．
2．連結BD，AC，令AC∩BD＝O，連結PO，則PO是P到BD的距離．這里誤認為ABCD為正方形了！
對第三個問題的分析，可說明既可利用三垂線定理構造點P到BD的距離．又可先作出距離PH．如圖9，再用三垂線定理的逆定理證明AH⊥BD．再通過解Rt△ABD，求出斜邊上的高AH，最後可解PH．
師：請給出完美的簡答．
生：如圖10，連結PB．
因為PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，且BC 平面ABCD
所以PB⊥BC，於是PB為點P到直線BC的距離．
同理，連結PD，則PD為點P到直線CD的距離，解出PD＝5，即點P到CD的距離為5；
在平面內過A作AH⊥BD於H，連PH．由三垂線定理有PH⊥BD，所以PH為點P到直線BD的距離．在Rt△ABD中，有AH＝
（通過此例進一步闡述解立體幾何計算題，離不開必要的證明．解題的操作程序一般是：一找、二作、三證、四指、五計算，注意解題規范化的訓練）
例3 如圖11，正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各對直線是否垂直，為什麼？
（1）D1B與AC；
（2）D1B與A1C1；
（3）D1B與AB1；
（4）D1B與B1C．
（通過例3，培養學生能在變異形式下應用三垂線定理的能力）
生甲：（1）D1B⊥AC，連結BD，因為正方體AC1，所以AC⊥BD，AC 平面ABCD．D1D⊥平面ABCD．由三垂線定理，有AC⊥BD1．
生乙：（2）D1B與A1C1垂直，因為正方體AC1，所以A1C1‖AC，因為D1B⊥AC，所以D1B⊥A1C1．
師：好！還有不同的證法嗎？
生丙：可用三垂線定理證明，只要連結D1B1即可．因為BB1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1⊥B1D1，由三垂線定理，有A1C1⊥BD1．
師：好！兩位同學從不同角度都能判定D1B⊥A1C1．
生丙同學能在變異形式下應用三垂線定理，這種能力我們要有意識地進行培養和訓練．
師：D1B和AB1的位置關系呢？
生丁：還是垂直位置關系，這里D1A1⊥平面ABB1A1，連A1B，則由三垂線定理可證D1B和AB1垂直．
師：很好！這里基礎平面是ABB1A1，而面的垂線是D1A1，A1B是D1B在平面ABB1A1上的射影．於是構造出應用三垂線定理的條件，使問題得到解決．
那麼D1B與B1C呢？
生：當然還垂直了！依據的還是三垂線定理，這里基礎平面是BCC1B1，面的垂線是D1C1．
師：通過一組投影片，演示變異形式下三垂線定理的應用．（以正方體為載體）
（1）如圖12，換一個角度看問題．試判斷正方體對角線A1C和面對角線BD的位置關系．
顯然A1A⊥平面ABCD，A1C∩平面ABCD於C，則AC為A1C在平面ABCD上的射影，又BD⊥AC，所以BD⊥A1C．（三垂線定理）
（2）如圖13，試判斷正方體對角線B1D與面對角線AD1的位置關系．
演示投影片，將正方體中局部旋轉成圖12下部分，於是問題就化歸為（1）的問題結論．最後再覆蓋上含輔助線與字母的圖形，如圖14，即化歸為三垂線定理的常規圖形．
對變異形式下三垂線定理的應用，是立體幾何中一個重要能力要求．
例4 有一方木料，右側面上有一點M，要經過點M在右側面畫一條直線和AM的連線垂直，應該怎樣畫．（如圖15）
（在前三個例題的基礎上，例4可較順利地得到解決）
生：連結BM，AM，因為AB⊥平面BCC1B1，所以BM為AM在平面BCC1B1上的射影．因此只需在平面BCC1B1上，過點M作BM的垂線EF即可，其理論依據是三垂線定理．
課堂教學小結
這節課我們通過對「平面內是否存在與平面的斜線垂直的直線」問題的探討．具體方法是把問題轉化為「平面內的直線與平面的斜線在平面上唯一的直線——射影」的位置關系的研究，而得出三垂線定理．這充分體現了研究立體幾何的基本思想方法——降維轉化的思想方法，將空間問題轉化為平面問題來解決．
對三垂線定理本質的理解有如下四點：
（1）從證明思路看
a⊥AO
a⊥平面AOP
a⊥PO
（2）三垂線定理及其逆定理是空間兩條直線垂直的判定定理．對證明線線垂直問題有著廣泛的應用．
（3）對「三垂線」的解釋
定理中涉及到五個空間元素（一面和四線）：平面α，α的垂線PA，α的斜線PO，PO在α上的射影AO及平面α內的直線a．其中「三垂線」的解釋是多樣的．如：
也可理解為
後一種理解，本質上是應用三垂線定理的思維程序與操作程序．「一面四線」中面的垂線是關鍵，運用三垂線定理解題時，首先要確定平面α，再抓住面的垂線PA，其他直線即相應產生，即可在各種變式情況下分清各元素的關系．
（4）若研究了命題的充要條件，又可小結為：「平面內直線與平面的斜線垂直的充要條件是平面內的直線垂直於斜線的射影．」
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第二章 2.1.1橢圓及其標准方程
教學要求：從具體情境中抽象出橢圓的模型，掌握橢圓的定義，標准方程
教學重點：橢圓的定義和標准方程
教學難點：橢圓標准方程的推導
教學過程：
一、新課導入：
取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什麼曲線？（學生動手，觀察結果）
思考：移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什麼？
經過觀察後思考：在移動筆尖的過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離之和等於常數.
二、講授新課：
1. 定義橢圓：把平面內與兩個定點 的距離之和等於常數（大於 ）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
2.橢圓標准方程的推導：
以經過橢圓兩焦點 的直線為 軸，線段 的垂直平分線為 軸，建立直角坐標系 .設 是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為 ，那麼焦點 的坐標分別為 ， ，又設 與 的距離之和等於 ，根據橢圓的定義，則有 ，用兩點間的距離公式代入，畫簡後的 ，此時引入 要講清楚. 即橢圓的標准方程是 . 根據對稱性，若焦點在 軸上，則橢圓的標准方程是 .兩個焦點坐標 .
通過橢圓的定義及推導，給學生強調兩個基本的等式： 和
3. 例1 寫出適合下列條件的橢圓的標准方程：⑴ ，焦點在 軸上；
⑵ ，焦點在 軸上；⑶ （教師引導——學生回答）
例2 已知橢圓兩個焦點的坐標分別是 ，並且經過點 ，求它的標准方程.
（教師分析——學生演板——教師點評）
三、鞏固練習：
1. 寫出適合下列條件的橢圓的標准方程：
⑴焦點在 軸上，焦距等於 ，並且經過點 ；
⑵焦點坐標分別為 ， ；
⑶ .
2. 作業： 第2題.
第二章2.1.2橢圓及其標准方程
教學要求：掌握點的軌跡的求法，坐標法的基本思想和應用.
教學重點：求點的軌跡方程，坐標法的基本思想和應用.
教學難點：求點的軌跡方程，坐標法的基本思想和應用.
教學過程：
一、復習：
1.橢圓的定義，橢圓的焦點坐標，焦距.
2.關於橢圓的兩個基本等式.
二、講授新課：
1. 例1 設點 的坐標分別為 ，.直線 相交於點 ，且它們的斜率之積是 ，求點 的軌跡方程.
求哪個點的軌跡，設哪個點的坐標，然後找出含有點相關等式.
（教師引導——示範書寫）
2. 練習：1.點 的坐標是 ，直線 相交於點 ，且直線 的斜率與直線 的斜率的商是 ，點 的軌跡是什麼？
（教師分析——學生演板——教師點評）
2.求到定點 與到定直線 的距離之比為 的動點的軌跡方程.
（教師分析——學生演板——教師點評）
3. 例2 在圓 上任取一點 ，過點 作 軸的垂線段 ， 為垂足.當點 在圓上運動時，線段 的中點 的軌跡是什麼？
相關點法：尋求點 的坐標 與中間 的關系，然後消去 ，得到點 的軌跡方程.
（教師引導——示範書寫）
4. 練習：
1. 第7題.
2.已知三角形 的一邊長為 ，周長為 ，求頂點 的軌跡方程.
5.知識小結：
①注意求哪個點的軌跡，設哪個點的坐標，然後找出含有點相關等式.
②相關點法：尋求點 的坐標 與中間 的關系，然後消去 ，得到點 的軌跡方程.
三、作業：
第4題
精講精練第8練.
第二章2.2橢圓的簡單幾何性質
教學要求：根據橢圓的方程研究曲線的幾何性質，並正確地畫出它的圖形；根據幾何條件求出曲線方程，並利用曲線的方程研究它的性質，畫圖.
教學重點：通過幾何性質求橢圓方程並畫圖.
教學難點：通過幾何性質求橢圓方程並畫圖.
教學過程：
一、復習：
1.橢圓的定義，橢圓的焦點坐標，焦距.
2.橢圓的標准方程.
二、講授新課：
1.范圍——變數 的取值范圍，亦即曲線的取值范圍：橫坐標 ；縱坐標 .
方法：①觀察圖像法； ②代數方法.
2.對稱性——既是軸對稱圖形，關於 軸對稱，也關於 軸對稱；又是中心對稱圖形.
方法：①觀察圖像法； ②定義法.
3.頂點：橢圓的長軸 ，橢圓的短軸 ，
橢圓與四個對稱軸的交點叫做橢圓的頂點， .
4.離心率：刻畫橢圓的扁平程度.把橢圓的焦點與長軸長的比 稱為離心率.記 .
可以理解為在橢圓的長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度.
5.例題
例4 求橢圓 的長軸和短軸的長，離心率，焦點和定點坐標.
提示：將一般方程化為標准方程.
（學生回答——老師書寫）
練習：求橢圓 和橢圓 的長軸和短軸長，離心率，焦點坐標，定點坐標.
（學生演板——教師點評）
例5 點 與定點 的距離和它到直線 的距離之比是常數 ，求點 的軌跡.
（教師分析——示範書寫）
三、課堂練習：
①比較下列每組橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？
⑴ 與 ⑵ 與 （學生口答，並說明原因）
②求適合下列條件的橢圓的標准方程.
⑴經過點
⑵長軸長是短軸長的 倍，且經過點
⑶焦距是 ，離心率等於
（學生演板，教師點評）
③作業： 第4題.